НАУЧНО - ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ Анжеро-Судженск 2012 Филиал Кемеровского госуниверситета

Куда падает высота пирамиды ? Фролова Евгения, Первушина Ольга – обучающиеся 10 класса. Анжеро - Судженск 2012 Руководитель: Салпанова н.л., учитель математики

ЦЕЛИ: Исследование ситуации, куда проектируется основание высоты пирамиды, если её вершина равноудалена от вершин и сторон основания. Установление живой взаимосвязи теоретических положений двух куров школьной геометрии (планиметрии и стереометрии) по проблеме исследования. Демонстрация идеи «переосмысление» объекта, как необходимого условия успешного решения задач.

ЗАДАЧИ:

От ГМТ в планиметрии Куда падает высота пирамиды ? В ы х о д н а п и р а м и д у. Перпендикулярность прямой и плоскости

БИССЕКТРИСА угла – ГМТ равноудалённых от сторон угла /Около любого треугольника можно описать окружность. В любой треугольник можно вписать окружность !!!/ Хорошо известные примеры ГМТ в планиметрии: множество точек, обладающих общим свойством

Геометрическое место точек (ГМТ) равноудаленных от концов отрезка сторон угла серединный перпендикуляр к отрезку биссектриса угла Р 1 L1=L2 В2 b-биссектриса A А1 а _I_AB, Р-середина А Р2Р2 a Р Р3Р3 В В1 В С С1 С2 в 2 В планиметрии А2 1 AP n = BP n A n B n =B n C n

Точка О равноудалена от в е р ш и н треугольника от с т о р о н треугольника центр описанной окружности центр вписанной окружности точка пересечения серединных перпендикуляров биссектрис к сторонам треугольника.углов треугольника. ОА = ОВ = ОС = R - радиус описанной окружности. OK = ON = OM = r - радиус вписанной окружности. Внимание : радиусы окружности не совпадают с серединными перпендикулярами и биссектрисами, кроме случаев : правильный треугольник – все три случая и равнобедренный треугольник – один случай Именно здесь часто допускают ошибку, когда имеем дело с неправильным треугольником. А В С С В А К NM O O R r

Н е о б х о д и м ы е п о н я т и я и т е о р е т и ч е с к и е с в е д е н и я : 1. П е р п е н д и к у л я р н о с т ь прямой и п л о с к о с т и ( о п р е д е л е н и е, п р и з н а к ) 2. П е р п е н д и к у л я р и н а к л о н н а я к п л о с к о с т и, и х о с н о в а н и я. 3. Р а с с т о я н и е о т т о ч к и д о п л о с к о с т и. 4. П р о е к ц и я наклонной н а плоскость, у г о л м е ж д у прямой и плоскость ю. 5. Р а в е н с т в о н а к л о н н ы х и р а в е н с т в о проекций. 6. Т е о р е м а о т р ё х п е р п е н д и к у л я р а х.. Точка пространства расположена на одинаковом расстоянии от каждой из вершин (от каждой из сторон) треугольника. Требуется найти расстояние от этой точки до плоскости треугольника. Идея «переосмысления» объекта – узнать известное в новой ситуации.

М М АВ С В О О Р К АО, ВО, СО - проекции наклонных на плоскость. Так же равные !!! АО, ВО, СО - проекции наклонных на плоскость. Так же равные !!! Понятия α

В стереометрии (в пространстве) Что является множеством точек пространства равноудаленных от вершин от сторон треугольника ??? Это перпендикуляр МО к плоскости треугольника – основание перпендикуляра в центре описанной окружности вписанной окружности около треугольника в треугольник М С В А С В А М О О Р К N ((( ГЛАВНЫЙ ВОПРОС: «Где будет основание перпендикуляра ?»)))

М – равноудалена от вершин основания пирамиды: MA = MB = MC. То О – равноудалена от вершин основания. То есть О - центр окружности описанной около основания - как точка пересечения перпендикуляров через середины сторон основания пирамиды. OA = OB = OC = R М- равноудалена от сторон основания пирамиды: MP = MK = MN. То О – равноудалена от сторон основания. То есть О - центр окружности вписанной в основание пирамиды - как точка пересечения биссектрис углов основания пирамиды. OM = ON = OK = r М С В А С В А М О О Р К N Итак: П И Р А М И Д А ! Где будет находиться основание высоты пирамиды ? Как будет проходить высота пирамиды ?

Р А В Н Ы ОСНОВАНИЕ ВЫСОТЫ ПИРАМИДЫ В ЦЕНТРЕ ОПИСАННОЙ ВПИСАННОЙ ОКОЛО ОСНОВАНИЯ ОКРУЖНОСТИ В ОСНОВАНИЕ ПИРАМИДЫ, ЕСЛИ Боковые рёбра Углы наклона боковых рёбер Углы наклона боковых рёбер Углы между боковыми рёбрами и высотой Плоские углы при основании апофемы Углы между высотой и апофемами Линейные углы при основании Двугранные углы при основании

В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной 2 и основанием 2,4. Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45. Найдите высоту пирамиды. Найдите высоту правильной четырёхугольной пирамиды с апофемой, равной 10, если её боковое ребро составляет угол 30 с плоскостью основания. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник со сторонами 53, 53 и 63. Боковые грани пирамиды к плоскости основания наклонены под углом 60. Найдите высоту пирамиды. Двугранные углы при основании правильной четырёхугольной пирамиды равны 45, а площадь боковой поверхности равна Найдите высоту пирамиды. Основанием пирамиды SABC является прямоугольный треугольник ABC, гипотенуза BC которого равна 65, а катет AB равен 39. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 13. Найдите высоту пирамиды, опущенную из вершины A. (2009 K-12) Основанием пирамиды SABC является прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ = 3 и ВС = 4. Боковое ребро SC длиною 5 перпендикулярно основанию. На рёбрах АС и ВС от – мечены точки М и К таким образом, что АМ = КВ = 3. Секущая плоскость проходит через вер- шину S и точки М и К. Найдите тангенс угла между плоскостями сечения и основания. (2,5 -7)

Реализована и идея «переосмысление» объекта. Когда речь идёт об одном и том же, но разными терминами. В зависимости от того, в какой ситуации объект (фигура) и её элементы рассматривается: перпендикуляр – расстояние от точки до плоскости (прямой) – высота (апофема); наклонные и их проекции и другие. Реализована и идея «переосмысление» объекта. Когда речь идёт об одном и том же, но разными терминами. В зависимости от того, в какой ситуации объект (фигура) и её элементы рассматривается: перпендикуляр – расстояние от точки до плоскости (прямой) – высота (апофема); наклонные и их проекции и другие. От перпендикуляра в планиметрии к перпендикуляру в стереометрии к многоугольнику через центр описанной и вписанной окружности, соответственно. К перпендикуляру пространства, на котором и будет лежать высота пирамиды, в зависимости от заданных условий. На примере пирамид треугольных. В проекте обращено внимание на понятийный аппарат.

За внимание