И его применение

Определение Пусть на отрезке [а;b] оси Ох задана непрерывная функция f(x), не имеющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [а;b] и прямыми x = а и x=b, называют криволинейной трапецией. x=а x=b Y=f(x) x y

Примеры x y Y=f(x) ab 0 y x 0ab b a0 y x a b y x 0

Алгоритм нахождения площади фигуры Задача : Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=f(x) и y=g(x). 1. Строим (точно) график данных функций. 2. Найдём абсциссы точек их пересечения (границы интегрирования) из уравнения: f(x)=g(x). Решаем его, находим x1=a,x2=b. 3. Выделяем свою фигуру. Выясняем, является ли данная фигура криволинейной трапецией. 4. Ищем площадь данной фигуры: Площадь криволинейной трапеции находим по формуле Ньютона-Лейбница: где F(x) – первообразная для f(x). x y a b AC B n Y=f(x) Y=g(x)

Формулы для нахождения площади различных фигур 1. Если криволинейная трапеция расположена ниже оси Ох (f(x)<0), то её площадь можно найти по формуле : 2. Если фигура ограничена кривыми y=f(x) и y=g(x), прямыми x=a, x=b (при условии ), то её площадь можно вычислить по формуле: 3. x y ab F(x) x y g(x) f(x) a b 0 0 S1 S2 S3 a b y x

Пример Задача: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 1. Строим графики данных функций. A B OCD 4

2. Найдём пределы интегрирования: 3. Данная фигура не является криволинейной трапецией, следовательно, искомую площадь можно получить как разность площадей прямоугольника АBCO и криволинейной трапеции АОCBD.

Применение интеграла Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейной трапеции. Физический смысл интеграла – 1) масса неоднородного стержня с плотностью, 2) перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью за промежуток времени. Применение интеграла в физике: Работа А переменной силы. S – (путь) перемещения. Вычисление массы. Вычисление момента инерции линии, круга, цилиндра. Вычисление координаты центра тяжести. Количество теплоты и т.д. Применение интеграла в геометрии: Вычисления S фигур. Длина дуги кривой. V тела на S параллельных сечений. V тела вращения и т.д.