ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Лекция 1 Дифференциальное исчисление Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР

Производная функции в точке Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки х 0. Производной функции f (x) в точке x 0 называется число, обозначаемое f (x 0 ), равное пределу отношения Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР при Дифференциальное исчисление Определение 1: если этот предел существует.

Определение 2: Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Производную функции y = f (x) принято обозначать так: Дифференциальное исчисление Производная функции в точке Обозначения: Производная функции f (x) в точке x 0 есть предел отношения её приращения к соответствующему приращению её аргумента при

Односторонние производные функции в точке Правая производная: Если функция f (x) определена в некоторой правой полу окрестности точки x 0, то её правой производной называется предел Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Левая производная: Если функция f (x) определена в некоторой левой полу окрестности точки x 0, то её левой производной называется предел

Пример 1: Найти производную функции Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР в точке х 0 = 0. Дифференциальное исчисление Производная функции в точке Пример 2: Найти производную функции в точках х 1 = 0 и х 2 = 1.

Теорема: Если функция f (x) имеет производную в точке x 0, то она непрерывна в точке x 0. Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Обратное утверждение неверно. Дифференциальное исчисление Производная функции в точке

Геометрический смысл производной функции в точке Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Пусть f (x) – непрерывная функция, определённая в некоторой окрестности точки x 0. Дифференциальное исчисление Рассмотрим две точки:

Геометрический смысл производной функции в точке Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Приблизим точку В к точке А : Дифференциальное исчисление

Геометрический смысл производной функции в точке Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Приблизим точку В к точке А : Дифференциальное исчисление

Геометрический смысл производной функции в точке Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Приблизим точку В к точке А : Дифференциальное исчисление

Геометрический смысл производной функции в точке Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Приблизим точку В к точке А : Дифференциальное исчисление

Геометрический смысл производной функции в точке Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Геометрический смысл производной функции в точке: угловой коэффициент касательной к графику функции, проведенной в точке касания: Дифференциальное исчисление Уравнение касательной: Уравнение нормали:

Физический смысл производной функции в точке Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР 1. Пусть материальная точка М движется прямолинейно, и функция s(t) есть пройденный ею путь за время t. Дифференциальное исчисление Пусть t 0 – момент начала движения. Тогда отношение – средняя скорость движения. Предел– мгновенная скорость точки в момент t 0.

Физический смысл производной функции в точке Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Пусть t – промежуток времени. Тогда – средняя сила тока за время t. Предел– мгновенный ток. 2. Пусть q (t 0 ) – количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника в момент времени t 0. Отношение

Теорема 1: Основные формулы дифференцирования Пусть функции u = u(x) и v = v(x) имеют производную в точке x = x 0. Тогда функции Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР тоже имеют производные в точке x = x 0, вычисляемые по формулам: Дифференциальное исчисление Производная функции в точке 1) константу можно выносить за знак производной

Теорема 1: Основные формулы дифференцирования Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Производная функции в точке 2) формула производной суммы 3) формула производной произведения 4) формула производной частного

Теорема 2: Дифференцирование сложной функции Пусть функция g(x) имеет производную в точке x 0, а функция f (y) имеет производную в точке y 0 = g(x 0 ). Тогда сложная функция f (g(x)) имеет производную в точке x 0, вычисляемую по формуле Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР или Дифференциальное исчисление Производная функции в точке

Если функция f (x) имеет производную в любой точке некоторого интервала [a, b], то её производная на этом интервале может быть выражена в виде некоторой функции g(x) = f (x), которая находится по основным формулам дифференцирования (теорема 1) и правилу нахождения производной сложной функции (теорема 2). Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Производная функции на отрезке

1. Постоянная функция f (x) = c, где с – константа. Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Производные элементарных функций

2. Показательная функция Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Производные элементарных функций Отсюда заключаем:

3. Степенная функция Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Производные элементарных функций При имеем:

4. Логарифмическая функция Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Производные элементарных функций Отсюда следует, что Кроме того,

5. Тригонометрические функции Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Производные элементарных функций Синус: sin x

5. Тригонометрические функции Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Производные элементарных функций Косинус: cos x

5. Тригонометрические функции Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Производные элементарных функций Тангенс: Производная находится по формуле производной частного:

5. Тригонометрические функции Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Производные элементарных функций Тангенс: Производная находится по формуле производной частного:

Высшая математика Автор: И.В.Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР math.mmts-it.org