Производная и ее применение в науке и технике Выполнил: Егоров Даниил, студент 1-ого курса ЧЭМК

Производная функции Определение производной Геометрический смысл производной Связь между непрерывностью и дифференцируемостью Производные основных элементарных функций Правила дифференцирования Производная сложной функции Производная неявно заданной функции Логарифмическое дифференцирование Применение производной в науке и технике

Определение производной Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b). Аргументу x придадим некоторое приращение : y 0 х х f(x ) x+Δxx+Δx f(x+ Δx ) Найдем соответствующее приращение функции: Если существует предел то его называют производной функции y = f(x) и обозначают одним из символов:

Определение производной Итак, по определению: Функция y = f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a; b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Значение производно функции y = f(x) в точке x 0 обозначается одним из символов: Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс, то f (x) есть скорость протекания этого процесса – физический смысл производной.

Геометрический смысл производной Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М 1 : y 0 х х f(x ) x+Δxx+Δx М М1М1 f(x+ Δx ) Через точки М и М 1 проведем секущую и обозначим через φ угол наклона секущей. φ При в силу непрерывности функции также стремится к нулю, поэтому точка М 1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ 1 переходит в касательную. y 0 х f(x ) α М

Геометрический смысл производной Производная f (x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x. Если точка касания М имеет координаты (x 0 ; y 0 ), угловой коэффициент касательной есть k = f (x 0 ). Уравнение прямой с угловым коэффициентом: Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой. Уравнение касательной Уравнение нормали

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней. Теорема Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке х, следовательно существует предел: Доказательство: По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции гд е при Функция y = f(x) – непрерывна. Обратное утверждение не верно: непрерывная функция может не иметь производной.

Производные основных элементарных функций 1 Формула бинома Ньютона: Степенная функция: Придадим аргументу x приращение, тогда функция получит приращение: K – факториал

Производные основных элементарных функций По формуле бинома Ньютона имеем: Тогда:

Производные основных элементарных функций 2 Логарифмическая функция: Аналогично выводятся правила дифференцирования других основных элементарных функций.

Правила дифференцирования Пусть u(x), v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором интервале (a; b) функции, С – постоянная.

Производная сложной функции Пусть y = f(u) и u = φ(x), тогда y = f(φ(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x. Теорема Если функция u = φ(x) имеет производную в точке x а функция y = f(u) имеет производную в соответствующей точке u, то сложная функция имеет производную, которая находится по формуле: Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько:

Пример Вычислить производную функции

Пример Вычислить производную функции Данную функцию можно представить следующим образом: Коротко:

Производная неявно заданной функции Если функция задана уравнением y = f(х), разрешенным относительно y, то говорят, что функция задана в явном виде. Для нахождения производной неявно заданной функции необходимо продифференцировать уравнение по х, рассматривая при этом y как функцию от х, и полученное выражение разрешить относительно производной. Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения не разрешенного относительно y:

Логарифмическое дифференцирование В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

Логарифмическое дифференцирование Функция называется степенно – показательной. Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции. Производная такой функции находится только с помощью логарифмического дифференцирования.

Применение производной В биологии: Пусть популяция бактерий в момент t (с) насчитывает x(t) особей.. Найти скорость роста популяции: а) в произвольный момент t, б) в момент t = 1 c. Решение: P = x(t) = 200t; P(1) = 200 (с). Ответ: 200 с.

Применение в химии Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью: р(t) = t 2 /2 + 3t –3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3 секунды. Решение: v (t) = p (t); v (t) = t + 3; v (3) = 3+3 = 6. Ответ: 6 моль\с.

Применение в физике Колебания. Гармонические колебания Уравнение гармонических колебаний Уравнение скорости колебания Уравнение ускорения колебания

Электростатика. Ток в электрической цепи Количество электричества Характеристика цепи переменного тока – мгновенное значение силы тока в момент времени t:

Пример: В какой момент времени ток в цепи равен нулю, если количество электричества, протекающего через проводник, задается формулой ? Решение: 1. Закон изменение силы тока: 2. По условию I=0, получаем уравнение: Ответ:

Линейная плотность тела Масса стержня есть функция его длины Линейная плотность неоднородного стержня

Заключение В данной работе показано применение производной как в биологии и химии, так и в таких разделах физики, как термодинамика, электростатика, колебания, не только с теоретической точки зрения, но и с практической, т.е. при решении задач.

Спасибо за внимание