ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ

В моей презентации речь пойдёт о понятии производной, правилах её применения в науке и технике и о решении задач в этой области. ВВЕДЕНИЕ

Определение 1. Мгновенная скорость прямолинейного движения тела в данный момент времени t 0 называется предел средней скорости за время от t 0 до t 0 + t, когда промежуток времени t стремится к нулю. Итак, чтобы найти скорость прямолинейного неравномерного движения в данный момент, нужно найти предел отношения приращения пути к приращению времени t при условии т.е. Лейбниц пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задачи о построении касательной к любой кривой, заданной своим уравнением. Решение этой задачи имеет большое значение. Ведь скорость движущейся точки направлена по касательной к её траектории, поэтому определение скорости снаряда на его траектории, скорости любой планеты на её орбите сводится, к определению направления касательной к кривой. Определение касательной как прямой, имеющей с кривой только одну общую точку, справедливое для окружности, непригодно для многих других кривых. Ниже представленное определение касательной к кривой, не только соответствует интуитивному представлению о ней, но и позволяет фактически находить её направление, т.е. вычислять угловой коэффициент касательной. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Определение 2. Касательной к кривой в точке М называется прямая МТ, которая является предельным положением секущей ММ 1, когда точка М 1, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М. Определение 3. Производной функции в данной точке x называют предел отношения приращения функции y к соответствующему приращению аргумента x при условии, что x0, т.е. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Операцию отыскания производной некоторой функции называют дифференцированием функции, а раздел математики, изучающий свойства этой операции, – дифференциальным исчислением. Если функция имеет производную в точке x=a, то говорят, что она дифференцируема в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке данного промежутка, то говорят, что она дифференцируема на этом промежутке. Определение производной не только с исчерпывающей полнотой характеризует понятие скорости изменения функции при изменении аргумента, но и даёт способ фактического вычисления производной данной функции. Для этого необходимо выполнить следующие четыре действия (четыре шага), указанные в самом определении производной: 1. Находят новое значение функции, представив в данную функцию вместо x новое значение аргумента :. 2. Определяют приращение функции, вычитывая данное значение функции из её нового значения:. 3. Составляют отношение приращения функции к приращению аргумента:. 4. Переходят к пределу при и находят производную:. ОБЩЕЕ ПРАВИЛО НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII в. Лейбницем, состоит в следующем: значение производной функции в точке x равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в той же точке x, т.е. Уравнение касательной, как всякой прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, имеет вид – текущие координаты. Но и уравнение касательной запишется так:. Уравнение нормали запишется в виде. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е. Таким образом, если закон движения материальной точки задан уравнением, то для нахождения мгновенной скорости точки в какой- нибудь определённый момент времени нужно найти производную и подставить в неё соответствующее значение t. МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Получим (уравнение из проделанного в учебнике Лисичкин В.Т. Соловейчик И.Л. «математика» с. 240): Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента. В этом и заключается механический смысл второй производной. ПРОИЗВОДНАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ЕЁ МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Определение 4. Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменой, называется дифференциалом функции и обозначается знаком d, т.е.. Дифференциал функции геометрически изображается приращением ординаты касательной, проведённой в точке M (x; y) при данных значениях x и x. Вычисление дифференциала –. Применение дифференциала в приближённых вычислениях – приближённое значение приращения функции совпадает с её дифференциалом. Теорема 1. Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Теорема 2. Если производная функция положительна (отрицательна) в не котором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает). Сформулируем теперь правило нахождения интервалов монотонности функции 1. Вычисляют производную данной функции. 2. Находят точки, в которых равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции 3. Найденными точками область определения функции разбивается на интервалы, на каждом из которых производная. сохраняет свой знак. Эти интервалы являются интервалами монотонности. 4. Исследуют знак на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале, то на этом интервале возрастает; если же, то на таком интервале убывает. В зависимости от условий задачи правило нахождения интервалов монотонности может упрощаться. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Определение 5. Точка называется точкой максимума (минимума) функции, если имеет место неравенство соответственно для любого x из не которой окрестности точки. Если – точка максимума (минимума) функции, то говорят, что минимум в точке. Максимум и минимум функции объединяют название экстремум функции, а точки максимума и минимума называют точками экстремума (экстремальными точками). Теорема 3. (необходимый признак экстремума). Если является точкой экстремума функции и производная в этой точке существует, то она равна нулю:. Теорема 4. (достаточный признак экстремума). Если производная при переходе x через a меняет знак, то a является точкой экстремума функции. Основные моменты исследования производной: 1. Находят производную. 2. Находят все критические точки из области определения функции. 3. Устанавливают знаки производной функции при переходе через критические точки и выписывают точки экстремума. 4. Вычисляют значения функции в каждой экстремальной точке. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Применение производной довольно широко, и его можно полностью охватить в работе такого типа, однако я попытался раскрыть основные базовые моменты. В наше время, в связь с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становиться всё более актуальными в решении как простых, так и сверхсложных задач. ЗАКЛЮЧЕНИЕ