Треугольники Учитель: Шарова Светлана Геннадьевна, МБОУ гимназия, г. Урюпинск, Волгоградская область Учимся решать планиметрические задачи. Подготовка к ЕГЭ. Задание 16. 1

Задачи - теоремы Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке (ортоцентре) Если известны стороны треугольника, то или, где - высота, проведенная к стороне, S – площадь треугольника, определяемая по формуле Герона. 2 b C

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести) и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. 2 х х 3 Задачи - теоремы b C

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два равнобедренных треугольника, а длина её равна половине гипотенузы. Верно и обратное утверждение. 4 Задачи - теоремы

Биссектриса угла треугольника делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, т. е. 5 Задачи - теоремы

A C B M N Если прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, пересекает его сторону AC в точке M, а сторону BC в точке N, то треугольники ABC и MNC подобны. Следствие: CM: MA = CN: NB. 6 Задачи - теоремы

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному треугольнику. Пусть и b – катеты, h – высота, проведенная к гипотенузе c прямоугольного треугольника, и - проекции катетов на гипотенузу. Тогда Следствие: b C 7 Задачи - теоремы

внимательно прочитать условие задачи, построить чертеж, соответствующий условию (по возможности, наиболее наглядный), дать характеристику фигуре, вспомнить определение, свойства, признаки, определить зависимости между элементами, рассуждать от вопроса задачи, постепенно используя данные условия. Рекомендации при решении задач по геометрии: 8

Разные решения одной задачи Задача. Найти периметр прямоугольного треугольника, катеты которого относятся как 3:4, а длина биссектрисы прямого угла равна. Решение. C A B L Введем обозначения: С =90, CL = BC = 3k,AC = 4k,AB = 5k (k- коэффициент пропорциональности), AL:LB = 4:3 ( по свойству биссектрисы треугольника), 3k3k 4k Искомый периметр P=12k 9

1 способ (Высота, проведенная к гипотенузе) C A B L 3k3k 4k H 1. Проведем высоту CH CBH~ ABC с коэффициентом 3/5 3. Поэтому BH = 9k/5, CH = 12k/5 4. CLH: LH= BL – BH = 15k/7 – 9k/7 =12k/35 По теореме Пифагора: k= 14 P = 12k = 1214 = 168 Ответ: k5k

11 2 способ. Формула CL = CP+PL. C A L 3k3k 3k 5k5k P B D k 1. Проведем отрезок BD так, чтобы CD=CB = 3k 2. Образуются равнобедренные прямоугольные треугольники CDP и CBP. 3. По теореме Пифагора из BLP: CL = CP+PL,, P = 12k =

12 3 способ. Формула CL = CO+OL. C A L 2k k O T k k B 1. Проведем OT AB, где O - центр вписанной окружности (ин центр) 2. CL = CO+OL 3. Вычислим радиус вписанной окружности 2k Из OLT ( OTL = 90 ) по теореме Пифагора: 6. CL = CO+OL, k=14 M N

13 4 способ. Теорема косинусов C A B L 4k 3k3k Применим теорему косинусов в CBL k=14

14 5 способ. Теорема синусов C A B L 4k 3k3k Очевидно, что sin ABC = sin CBL = 4/5 5k5k 2. По теореме синусов из CBL k=14

15 6 способ. Формула биссектрисы, проведенной из вершины прямого угла A B L 3k3k 45 5k5k 4k4k С k=14

16 7 способ. Формула биссектрисы C A B L 3k3k 4k

17 8 способ. Метод площадей. C A B L 3k3k 4k По свойству площадей: 45

18 9 способ. Векторный метод C A B L 3k3k 4k AL:LB = 4:3 ( по свойству биссектрисы треугольника)

Критерии оценивания выполнения задания 16 19

20 Задача 1 В равнобедренном треугольнике ABC AC – основание. На продолжении стороны BC за точку B отмечена точка D так, что угол CAD равен углу ABD. a)Докажите, что AB - биссектриса угла CAD. b)Найдите длину отрезка AD, если боковая сторона треугольника ABC равна 5, а его основание равно 6. Решение. A B C D Если принять угол при основании равнобедренного треугольника ABC за α, то угол ABD, как внешний угол треугольника, будет равен 2α αα 2α2α Так как по условию углы CAD и ABD равны, то угол DAB, как и угол BAC, равен α, то есть AB – биссектриса угла CAD.

21 A B C D αα 2α2α ABD ~ CAD (по двум углам) ABD = CAD DAB = DCA α α Значит, Так как по условию AB=5, AC=6,то Изимеем Возвращаемся в следующую пропорцию: Ответ:

22 Задача 2 В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка K так, что CK: BK = 1:2. Точка E – середина стороны AB. Отрезки CE и AK пересекаются в точке P. a)Докажите, что треугольники BPC и APC имеют равные площади. b)Найдите площадь треугольника ABP, если площадь треугольника ABC равна 120. Решение. A B C K T E P 2x x a)Докажем, что треугольники APC и BPC имеют равные площади. 1. Найдем, в каком отношении точка P делит отрезок AK 2. Проведём через K прямую, параллельную CE KTCE 3. По теореме о пропорциональных отрезках BK:KC = BT:TE, то есть BT:TE = 2:1 Но тогда и AE:ET = 3:1 А значит, по теореме о пропорциональных отрезках и AP:PK = 3:1

23 B C K T E P 2x x APC и PKC имеют общую высоту, проведённую из вершины С, поэтому Аналогичным образом, BPC и PKC имеют общую высоту, проведенную из вершины P, поэтому Итак, равенство очевидно. 3y3y y A

24 B K E P 2x x 3y3y y C A Заметим, что в силу того, что совпадают высоты, проведенные к равным сторонам AE и BE Пусть Тогда S x 2S 3S APB и BPK имеют общую высоту, проведенную из точки B, поэтому То есть 6S6S По условию, поэтому 12S = 120, то есть S = 10. А значит, Ответ: 60 b)Найдите площадь треугольника ABP, если площадь треугольника ABC равна 120.

25 Задача 3 В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены высоты AK, BM,CP. a)Докажите, что треугольник KMP – равнобедренный. b)Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника KMP равна 12, а косинус угла ABC равен 0,6. Решение. B A C K M P CPA = AKC (по гипотенузе и острому углу) AC –общая, A = C (углы при основании равнобедренного треугольника) Тогда CK=AP. APM = CKM по двум сторонам и углу между ними (AM=CM, AP=CK, A = C) Отсюда следует, что PM=KM, то есть KMP - равнобедренный a)

26 B A C K M P b) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь KMP равна 12, а косинус угла ABC равен 0,6. 1. Из PBC ( P =90 ): cos ABC = 0,6 = PB:BC 2. Пусть тогда PB = 6x, BC = 10x. Очевидно, AP = CK=4x 6x 4x 3. Из PBC ( P =90 ): 4. Из APC ( P =90 ): 8x 5. Заметим, sinB = 0,8 (из PBC) и sinA = (из APC) 6. Ответ: 50

27 Задача 4 Площадь треугольника ABC равна 72, а сумма длин сторон AC и BC равна 24. a)Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. b)Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник ABC, если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне AB. Решение. С A B S = 72 a) Пусть AC = x, тогда BC = 24 - x По условию S = 72, то есть ? Так как sinC 0, то Для существования x необходимо, чтобы D 0. Так как, то, Так как sinC > 0, то приходим к неравенству, Таким образом,, то есть C = 90. ABC - прямоугольный

28 b) Мы доказали, что sinC = 1. AC = x = 12, BC = 24 - x = 12 Таким образом, ABC – прямоугольный, равнобедренный (A = B = 45). C B A Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник ABC, если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне AB. M N Q P 45 Обозначим сторону квадрата MNPQ, вписанного в равнобедренный треугольник ABC за y, тогда гипотенуза AB = 3 у y y y y y y 12 Поэтому Ответ:

29 Задача 5 В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и CN. a)Докажите, что углы ACB и MNB равны. b)Вычислите длину стороны AC, если известно, что периметр треугольника ABC равен 25 см, периметр треугольника BMN равен 15 см, а радиус окружности, описанной около треугольника BMN равен 3 см. Решение. C A B M N 1. Замечаем, что ACM и CAN имеют общую гипотенузу, значит, точки A, N, M, C лежат на одной окружности Пусть ACB =α, α тогда CAM =90-α 90-α CAM = CNM (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу) Значит, CNM = 90-α. BNM =90 - CNM = 90-(90-α)=α α Итак, ACB = BNM

30 Решение. C A B M N α α b) Вычислите длину стороны AC, если известно, что периметр треугольника ABC равен 25 см, периметр треугольника BMN равен 15 см, а радиус окружности, описанной около треугольника BMN равен 3 см. BNM ~ BCA по двум углам (B - общий, ACB =MNB = α) Итак,, но с другой стороны из BNC, N=90 Рассмотрим BMN. По теореме синусов: R = 3 Ответ: 8.

Спасибо за сотрудничество! 31