ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Лекция 3 Дифференциальное исчисление Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Лекция 1 Дифференциальное исчисление Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР.
Advertisements

Элементы дифференциального исчисления Лекция 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1. Производные 2. Таблица производных 3. Дифференциал.
Дифференциал функции Определение 1. Пусть приращение функции можно представить в виде где A не зависит от, - бесконечно малая более высокого порядка малости,
1 Элементы дифференциального исчисления. 2 Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1. Производные 2. Таблица производных 3. Дифференциал.
Производная функции.
Определение дифференциала функции Дифференцируемость функции Правила дифференцирования Инвариантность формы дифференциала Пример Дифференциал в приближенных.
Лектор Белов В.М г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное исчисление Тема: Дифференциал функции. Производные и дифференциалы порядка n.
Основы высшей математики и математической статистики.
Определение производной функции Правила дифференцирования Пример Дифференцирование обратной функции Пример Производные основных элементарных функций Правило.
Бер Л.М. Дифференциальное исчисление ТПУ Рег. 283 от Company Logo Правила дифференцирования 5.Теорема 4. (Производная сложной функции) Пусть.
Приложения производной Функции нескольких переменных.
Производная функции Производные высших порядков Производные от функций, заданных параметрически Дифференциал функции Геометрический смысл дифференциала.
ЛЕКЦИЯ 2 по дисциплине «Математика» на тему: «Производные функций. Правила дифференцирования. Дифференциал функции» для курсантов I курса по военной специальности.
Производная функции. Производная функции (1) Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (включая точку ). Определение 1. Определение 2. Касательной.
Производная и дифференциал.. Дифференциал Пусть функция y=f(x) дифференцируема на [a, b]. Тогда - бесконечно малая функция более высокого порядка, чем.
1 2 Определение производной функции в точке Непрерывность дифференцируемой функции Дифференциал функции Геометрический смысл производной и дифференциала.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Частные производные высших порядков. Дифференцируемость.
Лекция 4. Тема: «Дифференциал и интеграл» Специальность: «Сестринское дело» Курс: 2 Дисциплина: «Математика» Подготовила: преподаватель высшей категории.
Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 5. Тема: Непрерывность функции. Точки разрыва. Производные.
Кафедра высшей математики Слайд – лекция Производная и дифференциал по дисциплине «Математика» для специальностей 5 В – Радиотехника, электроника.
Транксрипт:

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Лекция 3 Дифференциальное исчисление Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР

Дифференциальное исчисление Логарифмическое дифференцирование Пусть функция f (x) > 0. По теореме о производной сложной функции: Выразим отсюда производную:

Пример 1: Решение: Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Найти производную функции Дифференциальное исчисление Логарифмическое дифференцирование

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Логарифмическое дифференцирование Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной сложной функции вида представляющей собой «функцию в степени функция».

Пример 2: Решение: Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Найти производную функции Дифференциальное исчисление Логарифмическое дифференцирование

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Производная функции, заданной параметрически Пусть функция у переменной х задана параметрически: Предположим, что функция x = x (t) имеет обратную функцию t = t (x), определённую в некоторой окрестности точки x 0 = x (t 0 ), а также существуют производные x(t 0 ) и y(t 0 ). где функции (t), (t) определены в некоторой окрестности точки t 0. Тогда:

Пример: Решение: Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Найти производную Дифференциальное исчисление Производная функции, заданной параметрически функции, заданной уравнениями

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Производная функции, заданной неявно 1. Дифференцируем тождество по переменной х как сложную функцию, предполагая, что у = f (х). Пусть функция у переменной х задана неявно уравнением 2. Из полученного уравнения пытаемся выразить у х = f (х). Для нахождения у х :

Пример: Решение: Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР в точке х 0 = 0. Найти производную неявной функции, заданной уравнением Дифференциальное исчисление Производная функции, заданной неявно

Определение: Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Дифференцируемость функции где А – некоторое число; о( x) – бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем x при Функция f (x) называется дифференцируемой в точке х 0, если её приращение в этой точке может быть представлено в виде

Теорема: Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Дифференцируемость функции Если функция f (x) дифференцируема в точке x 0, то она непрерывна в ней. Для того чтобы функция f (x) была дифференцируемой в точке х 0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная f (x) = A. Следствие: Обратное утверждение неверно.

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Дифференциал функции Из определения дифференцируемости функции и её производной получаем, что Если то Значит, при имеем

Определение: Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Дифференциал функции Таким образом, по определению Главная линейная часть приращения функции f (x) в точке х 0 называется дифференциалом функции в этой точке и обозначается df (x 0 ).

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Перепишем выражение для дифференциала функции в виде Пусть y = f (x) – некоторая функция. Это выражение представляет собой уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке х 0. Геометрический смысл дифференциала функции

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Свойства дифференциала функции Для дифференциалов двух функций f (x) и g(x) справедливы следующие формулы:

Пример: Решение: Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР в точке х 0 = 1. Найти дифференциал функции Дифференциальное исчисление Дифференциал функции

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Дифференциальное исчисление Приложения дифференциала функции С помощью дифференциала можно приближённо вычислять значения функции f (x) для значений x, близких к некоторому значению x 0. Имеем: Тогда или

Пример: Решение: Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Вычислить приближённо Дифференциальное исчисление Приложения дифференциала функции

Высшая математика Автор: И.В.Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР math.mmts-it.org