1 Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Сложение и вычитание в различных системах счисления. Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Сложение и вычитание в различных системах счисления.

2 План занятия: «Мысль – выражать все числа немногими знаками, придавая им не только значение по форме, но еще и значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна …» Пьер Симон Лаплас (1749 – 1827 гг.) Пьер Симон Лаплас (1749 – 1827 гг.)

3 Система счисления - это знаковая система, в которой числа записываются по определённым правилам с помощью символов некоторого алфавита. Эти знаки называют цифрами. Набор этих цифр называют алфавитом системы счисления. Количество цифр в алфавите называют мощностью алфавита. Системы счисления Непозиционная В непозиционной системе счисления значение любой цифры не зависит от занимаемой ею позиции. Позиционная В позиционной системе счисления значение любой цифры зависит от её положения в ряду цифр, изображающих это число.

4 I вид: НЕПОЗИЦИОННАЯ 1)Единичная система счисления (10-11 тыс. лет до н.э.) Для записи использовалась цифра :1 Например: 5= ) Древнеегипетская система счисления Для записи использовались: - единица; -десяток; -сотня Например: 321= 3) Римская система счисления Для записи используются: I, II, … V,…X Например: 15=XV или 30=XXX

5 1)Десятичная система счисления (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 – основание 10) Например: 237; 372; 723; )Двоичная система счисления (0,1 – основание 2) Вся информация, которую обрабатывает компьютер должна быть представлена двоичным кодом с помощью двух цифр: 0 и 1. (двоичными цифрами или битами, или двоичным кодом). 3)Восьмеричная система счисления (0,1,2,3,4,5,6,7 – основание 8) 4)Шестнадцатеричная система счисления (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F – основание 16) II вид: ПОЗИЦИОННАЯ

ABCDEF Таблица соответствия чисел в различных системах счисления С С

7 Алгоритм перевода целой части числа: Перевод целой части числа из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием q осуществляется последовательным делением десятичного числа и его десятичных частных на q, а затем выписыванием последнего частного и остатков в обратном порядке. Алгоритм перевода дробной части числа: Перевод дробной части осуществляется последовательным умножением десятичной дроби и получаемых дробных частей произведений на основание q новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть не станет равна нулю или не будет достигнута необходимая точность перевода. Полученные целые части произведений необходимо выразить цифрами алфавита новой системы счисления. Алгоритм перевода целой части числа: Перевод целой части числа из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием q осуществляется последовательным делением десятичного числа и его десятичных частных на q, а затем выписыванием последнего частного и остатков в обратном порядке. Алгоритм перевода дробной части числа: Перевод дробной части осуществляется последовательным умножением десятичной дроби и получаемых дробных частей произведений на основание q новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть не станет равна нулю или не будет достигнута необходимая точность перевода. Полученные целые части произведений необходимо выразить цифрами алфавита новой системы счисления. Перевод чисел из 10-ой в 2, 8, 16 системы счисления.

8 Перевод чисел из десятичной системы счисления Пример 1. Перевести число 53,42 из десятичной системы счисления в двоичную = ,42 10 = 0, ,42 2 0,84 2 1,68 2 1, Пример ,68 10 = x 8 Пример ,68 10 = x 16 Решение ,68 10 = 341,534 8 Решение ,68 10 = E1,AE ,42 10 = ,011 2

9 a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 + … + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + … + a -m q -m (Развернутая формула записи числа или полином) Перевод чисел в десятичную систему счисления Пример 1. Перевести число 1011,1 из двоичной системы счисления в десятичную , 1 2 = = 11, Пример ,61 8 = x 10 Пример 3. 52B,A 16 = x 10 Решение 3. 52B,A 16 = 1323, Решение ,61 8 = Алгоритм перевода: При переводе числа из системы счисления с основанием q в десятичную систему надо представить это число в виде суммы произведений степеней основания его системы счисления q на соответствующие цифры числа и выполнить арифметические вычисления. Алгоритм перевода: При переводе числа из системы счисления с основанием q в десятичную систему надо представить это число в виде суммы произведений степеней основания его системы счисления q на соответствующие цифры числа и выполнить арифметические вычисления.

10 Проверь себя 1. Перевести число 67,59 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. 2. Перевести число 774,12 из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления. Сравни ответы 1. 67,59 10 = , ,12 8 = 7*8 2 +7*8 1 +4*8 0 +1* *8 -2 = /8+2/64=508, ,59 2 1,18 2 0,36 2 0,72 2 1,44

11 Сложение в позиционных системах счисления двоичная система 0 1+1=2= = =2= == =2=2+0 1 Ответ: =10= =9= =9= =3 восьмеричная система 1 Ответ: шестнадцатеричная система 8 D B C =20= =25= =12=C 16 C 1 Ответ: C94 16 Алгоритм сложения: Цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево Алгоритм сложения: Цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево Табл.

Примеры: 11010, , , ,01 665, ,23 665, ,23 95A,B 16 + B5,2 95A,B 16 + B5, , , , , , ,00 665, , ,77 665, , ,77 95A,B 16 + B5,2 A0F,D 95A,B 16 + B5,2 A0F,D Табл.

13 Вычитание в позиционных системах счисления двоичная система Ответ: восьмеричная система Ответ: шестнадцатеричная система Ответ: = = = = = = = =11-5=6 1 1 С В С =20-12=8 1 D =24-11=13=D =8 1 Алгоритм вычитания: При вычитании чисел, если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, то из старшего разряда занимается единица основания Алгоритм вычитания: При вычитании чисел, если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, то из старшего разряда занимается единица основания Табл.

Примеры: 11011,01 2 – 1101, ,01 2 – 1101,11 576,23 8 – 457,45 576,23 8 – 457,45 BC5,A 16 – AD,9 BC5,A 16 – AD, ,01 2 – 1101, , ,01 2 – 1101, ,10 BC5,A 16 – AD,9 B18,1 BC5,A 16 – AD,9 B18,1 576,23 8 – 457,45 116,56 576,23 8 – 457,45 116,56 Табл.

15 2 Закрепление материала: кроссворд 7 1. По гор: в записи чисел этой системы счисления используются кроме арабских цифр еще и буквы латинского алфавита. 2. По вент: система счисления, в которой количественный эквивалент ("вес") цифры не зависит от ее местоположения в записи числа 3. По гор: система счисления, основание которой равно По вент: знаки системы счисления, которые часто называют цифрами, используемые для записи чисел. 5. По гор: система счисления, в которой количественный эквивалент ("вес") цифры зависит от ее местоположения в записи числа. 6. По гор: количество цифр или других знаков, используемых для записи чисел в данной системе счисления. 7. По вент: позиция цифры в числе. 8. По гор: система счисления, используемая человеком в повседневной жизни. 9. По гор: сист. счисления, используемая для представления информации в компьютере ШЕСТНАДЦАТИРИЧНАЯ ВСЬМЕРИЧНАЯ Н Е П О З И Ц И О Н Н А Я ПОЗИЦИОННАЯ А Л Ф А В И Т ДЕСЯТИЧНАЯ ОСНОВАНИЕ ДВОИЧНАЯ Р А З Р Я Д

Вариант I Вариант II Вариант III Вариант IV 1. Перевести число из десятичной системы счисления в двоичную. 52, , , , Сравнить числа в шестнадцатеричной системе счисления. A13 16 и C A 16 и A15 16 A22 16 и B B 16 и 52E Перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную. 253, , , , Выполнить вычитание чисел. D A C – A – Восстановить неизвестные цифры, обозначенные *, определив в начале в какой системе счисления записаны числа. 5 * 5 5 * * 1 5 * 4 7 * * 5 * * 6 3 * 6 2 * * * 6 * Самостоятельная работа

Вариант I Вариант II Вариант III Вариант IV 1. Перевести число из десятичной системы счисления в двоичную. 52,34 10 = , ,27 10 = , ,43 10 = , ,72 10 = , Сравнить числа в шестнадцатеричной системе счисления. A13 16 < C A 16 < A15 16 A22 16 < B B 16 < 52E Перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную. 253,12 8 = ,21 8 = ,22 8 = ,31 8 = Выполнить вычитание чисел. D A = 2F0E = C – A = – = Восстановить неизвестные цифры, обозначенные *, определив в начале в какой системе счисления записаны числа Проверь себя

Оценка «5» ставится, если: работа выполнена верно и полностью; есть обоснование решения. Оценка «4» ставится, если: работа выполнена полностью, на само решение (шаги ведущие к правильному ответу) недостаточно; допущена одна ошибка или два недочета при решении заданий. Оценка «3» ставится, если: допущены две ошибки; допущено три- четыре недоче­та. Оценка «2» ставится, если: допущено более двух ошибок; правильно выполнено менее половины работы. Критерии выставления оценки

19 Домашнее задание 1. Записать в тетради определение алфавита системы счисления. 2. Записать в тетрадь определение мощности системы счисления. 3. Перевести число 258,57 из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную СС. 4. Перевести число 11011,01 из двоичной в десятичную СС. 5. Перевести число AB2,A7 из шестнадцатеричной в десятичную СС. 6. Выполнить арифметические операции в различных СС. а) 523, ,25 8 б) 1111, ,11 2 в) FD23, A,5 16 г) 623, ,25 8 д) 11011,01 2 – 1110,11 2 е) BAC,4 16 +FE6,2 16

20 Используемые интернет- источники

21