«Числа управляют миром», «Числа управляют миром», говорили пифагорейцы. Но числа дают возможность человеку управлять миром, и в этом нас убеждает весь ход развития науки и техники наших дней. (А. Дородницын)

Виды уравнений. 1)ах + в = 0 – линейное уравнение. 2)ах 2 +вх+с=0 – квадратное уравнение. 3) – простейшее степенное уравнение. 4)тригонометрические уравнения: sin х= a, cos х= a, tg х= a, ctg х= a.

Обобщение понятия степени

Цель урока: ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решения

Ваша задача : изучив самостоятельно новую тему, поработав с электронным учебником, просмотрев методы решения уравнений, показать знания и умения по решению иррациональных уравнений.

Определение. Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называется иррациональными. Например:

Отметим, что: Все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими, т.е. если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла; если подкоренное выражение равно нулю, то и корень равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то значение корня положительно. Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения. При этом знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения. Функции y= и y= являются возрастающими на своей области определения.

Примеры решения иррациональных уравнений. Пример 1. Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат: х + 2 = х 2 х 2 – х – 2 = 0 х 1 = -1, х 2 = 2 Проверка: 1) х 1 = -1, тогда, 1 = -1 – ложно; 2) х 2 = 2, тогда, 2 = 2 – верно Ответ: х=2.

Пример 2. Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат, получим: х – 6 = 4 – х 2 х = 10 х = 5 Проверка:, т.е число 5 не является корнем уравнения. Поэтому уравнение не имеет решений.

Пример 3. Решение. - неотрицательное число, т.е. это уравнение равносильно системе: Решая первое уравнение системы, равносильное уравнению х 2 – 17 х +66 =0, получим корни 11 и 6, но условие х 8 выполняется только для х=11. Ответ: х =11.

Пример 4. Решение. Возведем обе части уравнения в куб, получим: х 3 -3 х 2 +3 х -1 =х 2 -х-1 х 3 -4 х 2 +4 х=0 х(х 2 -4 х +4)=0 х(х-2) 2 =0 х 1 = 0, х 2 = 2 Ответ: х 1 = 0, х 2 = 2.

Устное упражнение. Какие из следующих уравнений являются иррациональными.

Упражнения. Решите уравнения Примечание: для сравнения правильности решения уравнений нажмите на рисунок.

Решение. Возведем обе части уравнения в куб, получим: х – 9 = 3 3 х – 9 = 27 х = 36 Ответ: х = 36. Пример 1. Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат: х + 3 = 2 2 х = х = 1 Ответ: 1 Пример 2.

Пример 3. Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат, получим: 61 – х 2 = 5 2 х 2 = х 2 = 36 х 1 = -6 или х 2 = 6 Ответ: -6, 6. Пример 4. Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат, получим: 2 х + 1 = х 2 – 2 х +4 х 2 – 4 х +3 = 0 х 1 = 1 или х 2 = 3 Ответ: 1, 3

Из истории. Термины радикал и корень, введенные в XII в., происходят от латинского radix, имеющие два значения: сторона и корень. Греческие математики вместо «извлечь корень» говорили: «найти сторону квадрата по его данной величине (площадь)». Знак корня в виде символа появился впервые в 1525 г в виде символа «». Современный символ введен Декартом, добавившим горизонтальную черту. Ньютон уже указал показатели корней:.

Домашнее задание. 1) Определение. 2) 417 г); 418 в), г); 419 в), г).