Уравнения с двумя неизвестными

Уравнение с двумя переменными Определение. Равенство, содержащее две переменные, называется уравнением с двумя переменными. 3 х – у = 13;3 х – у 2 = 13; у = х 2 ; у =. Переменные в уравнении называются неизвестными. Уравнеие с двумя переменными описывает определенную зависимость между этими переменными.

Решение уравнения с двумя неизвестными Определение. Упорядоченная пара значений неизвестных, при которых уравнение превращается в верное числовое равенство, называется решением уравнения с двумя неизвестными. Упорядочееные пары (1; 10) и (, 0) - решения уравнения 3 х – у = 13 (можно записать х 1 = 1, у 1 = 10 или х 2 =, у 2 = 0)

Равносильные уравнения Определение. Два уравнения с двумя неизвестными называются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго, и наоборот – каждое решение второго уравнения является решением первого, т.е. они иимеют одни и те же решения. Уравнения 3 х – у = 13 и у = 3 х – 13 равносильны (они имеют одни и те же решения). Уравнения 3 х – у = 13 и 3 х – у 2 = 13 равносильными не являются.

Равносильные уравнения Равносильными считаются уравнения, которые не иимеют решений. Уравнения х 2 + у 2 = -1 и х у 2 = -1 равносильны (они не иимеют решений).

Свойства уравнений с двумя неизвестными Свойство 1. Если к обеим частям уравнения прибавить или из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному. 2 х + у = 3 2 х + у - 5 = 3 – 5 2 х + у – 5 = -2; 2 х + у = 3 2 х + у + 2 = х + у + 2 = 5. Следствие: Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному. 12 х – 9 у = 16(2 х – 7) 2 + (3 у + 2) 2 = 0 12 х = у(2 х – 7) 2 = - (3 у + 2) 2

Свойства уравнений с двумя неизвестными Свойство 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному. 12 х - 9 у = х + 3 у = -5 |3 х - 9| + |5 у - 15| = 0 3(|3 х - 9| + |5 у - 15|) = 0 : (-3) 3

График уравнения с двумя переменными Определение. Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек на координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения. Графики равносильных уравнений совпадают. 3 х – 2 у = 6 выразим у через х у = 1,5 х - 3 О 1 2 х у х – 2 у = 6

График уравнения с двумя переменными 3 у – 3 х 3 = 0 у = х 3 О х у k >0 О 1 х у О1 2 3 х у у = x 3

у О 1 2 х у О 1 2 х у О 1 2 х Линейное уравнение с двумя неизвестными Определение. Линейным уравнением с двумя неизвестными называется уравнение вида ах + by = c, где а, b, с – числа, х и у – неизвестные. 3 х – 2 у = 6 0 х – 2 у = 6 3 х – 0 у = 6 -3