Различные способы решения уравнений, содержащих модуль

Авторы проекта ученики 10 «А» класса ГОУ СОШ 420 г. Москвы Тремаскина Наталья Тремаскин Виталий Руководитель проекта Учитель математики ГОУ СОШ 420 г. Москвы Афанасьева С.В.

В проекте представлены: Различные способы решения уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля, Различные способы решения уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля, на примере уравнений на примере уравнений x x + 2= 0 и 4 |x |+ 5= 6|x | x x + 2= 0 и 4 |x |+ 5= 6|x | «SMS- решение» задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения, «SMS- решение» задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения, на примере функции на примере функции у=10x - 1+9x - 2+8x - 3+7x - 4+6x - 5+ у=10x - 1+9x - 2+8x - 3+7x - 4+6x x x - 7+3x - 8+2x - 9+x - 10 Подборка задач с графическими иллюстрациями для самостоятельного решения Подборка задач с графическими иллюстрациями для самостоятельного решения

Способы решения уравнения x x + 2= 0 1. Раскрытие модуля на интервалах Раскрытие модуля на интервалах Раскрытие модуля на интервалах 2.«Сравнение модулей» «Сравнение модулей»«Сравнение модулей» 3. Сравнение квадратов (1) Сравнение квадратов (1)Сравнение квадратов (1) 4. Сравнение квадратов (2) Сравнение квадратов (2)Сравнение квадратов (2) 5. Графический способ (1) Графический способ (1)Графический способ (1) 6. Графический способ (2) Графический способ (2)Графический способ (2) Ответ:{-5;-2}

Способы решения уравнения 4 |x |+ 5= 6|x | 1. Введение новой переменной + раскрытие модуля на интервалах Введение новой переменной + раскрытие модуля на интервалах Введение новой переменной + раскрытие модуля на интервалах 2. Раскрытие модуля на интервалах (начиная с внутреннего) Раскрытие модуля на интервалах (начиная с внутреннего) Раскрытие модуля на интервалах (начиная с внутреннего) 3. Способ графический Способ графический Способ графический 4. Использование свойства четности Использование свойства четности Использование свойства четности 5. Сравнение модулей + графический Сравнение модулей + графический Сравнение модулей + графический {-5/2; 5/2} Ответ. {-5/2; 5/2}

«SMS- решение» Постановка задачи Найти наименьшее значение функции у=10x x x - 3+7x x x x - 7+3x x - 9+ x-10

«SMS- решение» Решение задачи Найти наименьшее значение функции у=10x x x - 3+7x x x x x x - 9+ x = = 27 < 55/2 < 34 = у(4) = Ответ. 112 Найти наименьшее значение функции у=10x x x - 3+7x x x x - 7+3x x - 9+ x-10 Комментарии к решению

Задачи для самостоятельного решения Решить уравнение Решить уравнение Ответы к уравнениям

До новых встреч! Надеемся, что вам понравился наш проект и что вы не пропустили и что вы не пропустили ни одного скрытого слайда. До новых встреч в следующем году … Наталья и Виталий Тремаскины

Решения и ответы к задачам для самостоятельного решения

x x + 2= 0 1 способ. Раскрытие модуля на интервалахx x + 2= 0 1 способ. Раскрытие модуля на интервалах Найдем точки перемены знака модуля из условий: х – 1 = 0 и х + 2 = 0 х – 1 = 0 и х + 2 = 0 х = 1 х = - 2 х = 1 х = - 2 Рассмотрим данное уравнение Рассмотрим данное уравнение на промежутках (- ;-2], [-2;1], [1;+) (- ;-2], [-2;1], [1;+)

x x + 2= 0 1 способ. Раскрытие модуля на интервалахx x + 2= 0 1 способ. Раскрытие модуля на интервалах На промежутке (- ; -2 ] х – 1 = – х + 1; х + 2 = – х – 2 х – 1 = – х + 1; х + 2 = – х – 2 значит, уравнение имеет вид: ( – х + 1 ) – 2 (– х – 2) = 0 – х х + 4 = 0 – х х + 4 = 0 х + 5 = 0 х = – принадлежит промежутку (- ; -2 ]

x x + 2= 0 1 способ. Раскрытие модуля на интервалахx x + 2= 0 1 способ. Раскрытие модуля на интервалах На промежутке [-2;1] х – 1 = – х + 1; х + 2 = х + 2 х – 1 = – х + 1; х + 2 = х + 2 значит, уравнение имеет вид: ( – х + 1 ) – 2 ( х + 2) = 0 – х + 1– 2 х – 4 = 0 – 3 х – 3 = 0 3 х = – 3 х = принадлежит промежутку [-2;1] - 1 принадлежит промежутку [-2;1]

x x + 2= 0 1 способ. Раскрытие модуля на интервалахx x + 2= 0 1 способ. Раскрытие модуля на интервалах На промежутке [1;+) х – 1 = х – 1; х + 2 = х + 2 х – 1 = х – 1; х + 2 = х + 2 значит, уравнение имеет вид: ( х – 1 ) – 2 ( х + 2) = 0 х – 1 – 2 х – 4 = 0 – х – 5 = 0 – х – 5 = 0 х = – не принадлежит промежутку [1;+) - 5 не принадлежит промежутку [1;+) Другой способ

x x + 2= 0 2 способ. «Сравнение модулей»x x + 2= 0 2 способ. «Сравнение модулей» x - 1= 2 x + 2 x - 1= 2 x + 2 x - 1= 2x + 4 x - 1= 2x + 4 Модули равны у чисел равных или противоположных х – 1 = 2 х + 4 или х – 1 = – 2 х – 4 – х = 5 3 х = – 3 х = – 5 х = - 1 Другой способ

x x + 2= 0 3 способ. Сравнение квадратов (1)x x + 2= 0 3 способ. Сравнение квадратов (1) Выражения, стоящие в обеих частях уравнениях - 1= 2 x + 2 неотрицательны, сравним их квадраты (x - 1) 2 = (2 x + 2) 2 используем формулы квадратов суммы и разности двучлена х 2 – 2 х + 1 = 4 (х х + 4) х 2 – 2 х + 1 = 4 х х х х + 15=0 3 х х + 15=0 х х + 5=0 х х + 5=0 по теореме, обратной теореме Виета, найдем корни по теореме, обратной теореме Виета, найдем корни х = – 5 х = - 1 х = – 5 х = - 1 Другой способ

x x + 2= 0 4 способ. Сравнение квадратов (2) x x + 2= 0 4 способ. Сравнение квадратов (2) (х – 1) 2 = ( 2 х + 4) 2 (х – 1) 2 - ( 2 х + 4) 2 = 0 (х – 1) 2 - ( 2 х + 4) 2 = 0 разложим на множители по формуле разности квадратов разложим на множители по формуле разности квадратов ((х – 1) - ( 2 х + 4)) ((х – 1) + ( 2 х + 4)) = 0 ((х – 1) - ( 2 х + 4)) ((х – 1) + ( 2 х + 4)) = 0 (х – х - 4) (х – х + 4) = 0 (х – х - 4) (х – х + 4) = 0 В данном случае произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. В данном случае произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. х – х – 4 = 0 или х – х + 4 = 0 х – х – 4 = 0 или х – х + 4 = 0 - х - 5 = 0 3 х + 3 = 0 - х - 5 = 0 3 х + 3 = 0 - х = 5 3 х = – 3 - х = 5 3 х = – 3 х = – 5 х = - 1 х = – 5 х = - 1 Другой способ

x x + 2= 0 5 способ. Графический способ (1) x x + 2= 0 5 способ. Графический способ (1) График функции получен из графика функции сдвигом на вектор График функции получен из графика функции сдвигом на вектор и растяжением в 2 раза вдоль оси ОУ. Абсциссы точек пересечения графиков х А – 5 ; х В - 1 Проверка. Если х = – 5, то Если х = – 1, то верно Другой способ

x x + 2= 0 6 способ. Графический способ (2) x x + 2= 0 6 способ. Графический способ (2) Построим график функции у = Найдем точки перемены знака модуля из условий: х – 1 = 0 и х + 2 = 0 х – 1 = 0 и х + 2 = 0 х = 1 х = - 2 х = 1 х = - 2 x x + 2 x x + 2 Абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ х А – 5 ; х В - 1 Проверка. Если х = – 5, то Если х = – 1, то верно Другой способ

4 |x |+ 5 = 6|x | 1 способ. Введение новой переменной + раскрытие модуля на интервалах 4 |x |+ 5 = 6|x | 1 способ. Введение новой переменной + раскрытие модуля на интервалах Пусть, где а >0, тогда Найдем Найдем точку перемены знака модуля из условия: 4 а + 5 = 0 Так как, то уравнение примет вид: Таким образом,, значит, Ответ. Другой способ

4 |x |+ 5 = 6|x | 2 способ. Раскрытие модуля на интервалах ( начиная с внутреннего) 4 |x |+ 5 = 6|x | 2 способ. Раскрытие модуля на интервалах ( начиная с внутреннего) Точка перемены знака модуля х = 0 Точка перемены знака модуля х = 0 На промежутке Найдем точку перемены знака модуля из условия: - 4 х + 5 = 0 Значит, на всем промежутке уравнение примет вид На промежутке Найдем точку перемены знака модуля из условия: 4 х + 5 = 0 Значит, на всем промежутке уравнение примет вид - Другой способ

4 |x |+ 5 = 6|x | 3 способ. Графический 1 4 |x |+ 5 = 6|x | 3 способ. Графический 1 График функции у= 4|x|+ 5 получен из графика функции у=|x| растяжением в 4 раза вдоль оси ОУ, сдвигом на вектор («излома» графика, связанного со внешнем модулем, в данном случае нет). График функции у=6|x| получен из графика функции у=|x| растяжением в 6 раз вдоль оси ОУ.

4 |x |+ 5 = 6|x | 3 способ. Графический 1 4 |x |+ 5 = 6|x | 3 способ. Графический 1 Абсциссы точек пересечения графиков х А -2,5 х В 2,5 ( Проверка. Если х = – 2,5, то верно Если х = 2,5, то Другой способ

4 |x |+ 5 = 6|x | 4 способ. Использование свойств четности 4 |x |+ 5 = 6|x | 4 способ. Использование свойств четности Функция у= 4 |x |+ 5 = 6|x | является четной ( так как ), значит, корнями будут являться противоположные числа. Рассмотрим уравнение на промежутке. Оно примет вид. Так как на данном промежутке правая часть уравнения неотрицательна, то можно рассмотреть уравнения 4 х + 5 = 6 х и 4 х + 5 = - 6 х Вместе с корнем в силу четности рассматриваемой функции в ответ надо включить корень Другой способ

4 |x |+ 5 = 6|x | 5 способ. «Сравнение модулей» + Графический 4 |x |+ 5 = 6|x | 5 способ. «Сравнение модулей» + Графический 4|х| + 5 = 6 х и 4 |х| + 5 = - 6 х 4|х| = 6 х - 5 и 4 |х| = - 6 х - 5 График функции у=4|х| получен из графика функции у=|х| растяжением в 4 раза вдоль оси OY.Графиком функции y=6x-5 является прямая. Абсцисса точки пересечения графиков х А 2,5 Проверка. Если х = 2,5, то верно Другой способ

Комментарии к «SMS-решению» Найти наименьшее значение функции у=10x x x - 3+7x x x x x x - 9+ x-10 Найти наименьшее значение функции у=10x x x - 3+7x x x x - 7+3x x - 9+ x-10 При последовательном раскрытии модулей на промежутках данная функция примет кусочный вид. При этом: если х 1, то получим линейную функцию с угловым коэффициентом - 55 (убывающую) если х 10, то получим линейную функцию с угловым коэффициентом 55 (возрастающую) Найдем, при переходе через какую точку функция будет менять свой характер монотонности. Для этого заметим, что = 27 < 55/2 < 34 =

Комментарии к «SMS-решению» Найти наименьшее значение функции у=10x x x - 3+7x x x x x x - 9+ x-10 Найти наименьшее значение функции у=10x x x - 3+7x x x x - 7+3x x - 9+ x = 27 < 55/2 < 34 = Сделаем вывод: если первые три модуля будут раскрываться со знаком «+», а остальные со знаком «-», то на промежутке 3 х 4 линейная функция будет иметь угловой коэффициент = - 1 (т.е. будет убывающей) если первые четыре модуля будут раскрываться со знаком «+», а остальные со знаком «-», то на промежутке 4 х 5 линейная функция будет иметь угловой коэффициент =13 (т.е. будет возрастающей) Значит, при переходе через точку х = 4 функция будет менять свой характер монотонности с убывания на возрастание.

Комментарии к «SMS-решению» Найти наименьшее значение функции у=10x x x - 3+7x x x x x x - 9+ x-10 Найти наименьшее значение функции у=10x x x - 3+7x x x x - 7+3x x - 9+ x-10 При переходе через точку х = 4 функция будет менять свой характер монотонности с убывания на возрастание. Значит, при х = 4 функция будет достигать свое наименьшее значение. у(4) = Ответ. 112

Графическая иллюстрация к «SMS-решению» ( для наглядности сделан сдвиг вниз на 114) Найти наименьшее значение функции у=10x x x - 3+7x x x x x x - 9+ x-10 Найти наименьшее значение функции у=10x x x - 3+7x x x x - 7+3x x - 9+ x-10

Графическое решение и ответ к уравнению 1. Ответ: х = 0; х = 2

Графическое решение и ответ к уравнению 2. Ответ: х = 0; х = 2

Графическое решение и ответ к уравнению 3. Ответ: х = 1; х = 7

Графическое решение и ответ к уравнению 4. Ответ: х = -1; х = 1

Графическое решение и ответ к уравнению 5. Ответ: х = 1; х = 3

Графическое решение и ответ к уравнению 6. Ответ: х = 1; х = 2

Графическое решение и ответ к уравнению 7. Ответ: х = - 4; х = 2

Графическое решение и ответ к уравнению 8. Ответ: х = - 7; х = - 1

Графическое решение и ответ к уравнению 9. Ответ: х = - 12; х = - 4; х = 0; х = 1,6

Графическое решение и ответ к уравнению 10. Ответ: х = 0; х = 3