Ребята, на данном уроке мы наконец научимся решать полные квадратные уравнения. Рассмотрим уравнение: у которого все коэффициенты отличны от нуля. Давайте выполним ряд преобразований:

Выражение - называется дискриминантом квадратного уравнения, принято его обозначать коротко выполним дальнейшие преобразования, перенесем выражение с дискриминантом вправо: разделим на коэффициент а, стоящий перед скобкой в левой части уравнения совершенно любое квадратное уравнение можно свести к данному виду, мы это с вами доказали нашими действиями. Но для чего мы привели его к такому виду? Ребята посмотрите внимательно на правую часть, с помощью знака этой части мы будем определять количество корней уравнения.

И так, если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней. На самом деле, слева в левой части у нас всегда не отрицательное число, а справа отрицательное, равенства между такими числами не возможно. Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень

Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня. Давайте докажем, что это на самом деле так, мы получили что: введем замену, тогда решением такого уравнения будет пара извлечем корень из знаменателя: теперь введем обратную замену: перенеся коэффициент в правую часть: что и требовалось доказать.

Пример 1. Решить уравнение: Решение. В этом уравнении a=2, b=1, c=7 Вычислим дискриминант: Дискриминант меньше нуля, а это значит что корней данное уравнение не имеет. Ответ: нет корней. Пример 2. Решить уравнение: Решение. В этом уравнении a=4, b=32, c=64 Вычислим дискриминант: Дискриминант равен нулю, следовательно один корень: Ответ: х=-4

Замечание. Уравнение выше можно было решить без вычисления дискриминанта: Откуда сразу получаем корень х=-4, вообще если получается один корень уравнения, то выделить полный квадрат получится всегда и довольно таки просто. Пример 3. Решить уравнение: Решение. В этом уравнении a=1, b=-14, c=48 Вычислим дискриминант: теперь используем формулу корней: Ответ: х=8 или х=6.

Вот мы и получили универсальный алгоритм решения квадратных уравнений. Пример 4. Решить уравнение: Решение. Обычно не принято решать уравнения, когда коэффициент при старшей степени меньше нуля, переходят к противоположным знакам, ответ при этом остается верным. Ответ: х=3 или х=-2.

Пример 5. Решить уравнение: Решение. Работать с дробями бывает крайне неудобно и долго. Мы всегда можем помножить каждый член нашего уравнения на любое одинаковое число, и ответ не изменится. В нашем примере удобнее умножить на 20. Согласитесь с таким уравнением гораздо приятнее работать.!

Корни уравнения можно считать и сразу напрямую, обычно записывают следующим образом: Если подкоренное выражение отрицательное, то корней нет, так как корень квадратный из отрицательного числа не вычисляется. Если подкоренное выражение равно нулю, то один корень. Если подкоренное выражение положительное, то два корня.

Пример 6. Решить уравнение: Решение. Опять же с дробями работать неудобно, умножим уравнение на 100. Вычислять значение подкоренного выражения не имеет смысла, так как очевидно, что оно явно меньше нуля, что означает отсутствие корней. Ответ: нет корней.

Пример 7. Решить уравнение: Решение. Такие уравнения называются уравнениями с параметром. В зависимости от значения числа p меняется и значения корней уравнения. Нужно решить данное уравнение относительно всех возможных действительных p. При p=0, наше уравнение сводится к линейному Значит при p=0 получается х=0. Рассмотрим случай p0. Коэффициенты уравнения: a=p, b=2p-2, c=p Вычислим дискриминант:

В зависимости от знака дискриминанта у нас получаются разные решения. Если D<0, то корней уравнение не имеет, найдем соответствующие p. При p>0.5 – уравнение не имеет решений. Если D<0, то уравнение имеет один корень, найдем соответствующие p. При p=0.5 – один корень уравнения, найдем его

И как не трудно догадаться, при p>0.5, два корня уравнения: Ответ: при p=0, x=0. При p>0.5 – нет корней. При p=0.5 x=1 При p<0.5

Задачи для самостоятельного решения. 1. Решите уравнение: 2. Решите уравнение: 3. Решите уравнение: 4. Решите уравнение: 5. Решите уравнение: