«Моделирование и решение текстовых задач на проценты»

Содержание Понятие процента 3 Задачи и решения 4-11 Использованная литература и ресурсы 14

Понятие процента Процентом называют одну сотую часть. Для краткости слово «процент» после числа заменяют знаком %.

Задача 1 Вкладчик положил в банк рублей под 10% годовых. Каждый год после начисления процентов он добавляет одну и ту же сумму на свой счёт. Если через три года он добавит на счёт на 140 рублей больше, чем обычно, то его вклад составит рублей. Какую сумму (в руб.) обычно добавляет вкладчик на свой счёт после начисления процентов?

Решение Обозначим через x сумму, которую обычно добавляет на свой счёт вкладчик после начисления процентов. Тогда через год сумма вклада составит К1=1,1*10000+x;через 2 года – К2=1,1*К1+x;через 3 года – К3=1,1*К2+x+140 рублей. По условию, К3=30000 рублей. Выражаем К3 через x и получаем следующее уравнение: 1,1(1,1(1,1*10000+x)+x)+x+140= Решаем уравнение и получаем ответ. Ответ: 5000.

Задача 2 Три одинаковых сосуда наполнены спиртом. Из второго и третьего сосудов отливают по А л. (строго больше половины) спирта и доливают водой. Затем из третьего сосуда отливают А л. смеси и доливают его водой. После того объем спирта в первом и втором сосудах, вместе взятых, в 6/5 раза больше, чем объем спирта в первом и третьем сосудах, вместе взятых. Какую часть объема сосуда составляет величина А?

Решение Нам известна формула: Cn = (p/100)*(1A/V 0 )n, где Cn - концентрация после N переливаний, а начальная концентрация спирта (p/100) равна 1. По условию можно составить выражение: (1+(1–A/V 0 ))/(1+(1–A/) V 0 2)=6/5 или 6(A/V 0 )2–7(A/V 0 )+2=0. Корни A/V 0 =1/2 и A/V 0 =2/3. Условию задачи удовлетворяет только 2/3. Ответ: A/ V 0 = 2/3.

Задача 3 В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что в начале года завод ежемесячно выпускал 600 изделий, а в конце стал выпускать ежемесячно 726 изделий.

Решение Здесь необходимо использовать такую формулу: Аn=А0*(1+Р/100)n, где Аn=726, А0=600, n=2. Нам нужно найти Р, для этого выразим Р=(726/600)–1 или Р(1,21)–1 или Р= 1,1–1. Р=0,1; в процентах Р=10 %. Ответ: Процент увеличения выпуска равен 10 %.

Задача 4 В коробки было 25% белых кубиков, и 75% черных. В коробку добавили 10 черных кубиков, соотношение белых и черных стало 20% к 80%, сколько было черных кубиков в коробке в начале?

Решение Первоначально в коробки было 25% белых и 75% черных кубиков, и соотношение было 1/3, в коробку положили 10 черных кубиков, и в коробки стало 20% белых и 80% черных кубиков, и соотношение стало ¼. Отсюда следует, пусть x - это белые кубики, а y - черные. х/у = 1/3 или х/( у + 10 ) = ¼, отсюда следует, у = 3 х и у + 10 = 4 х. Подставим 3 х + 10 = 4 х или 10 = х или у = 30. Ответ: 30 черных кубиков было в начале

Задача 5 Из 550 учащихся школы в референдуме по вопросу о введении ученического совета участвовали 88% учащихся. На вопрос референдума 75% принявших участие в голосовании ответили «да».Какой процент от числа всех учащихся школы составили те, кто ответил положительно?

Выразим проценты дробями и найдём число учащихся, утвердительно ответивших на вопрос референдума: 550*0,88*0,75=363 (чел.). Теперь найдём ответ на вопрос задачи: 363/550=0,66 – это 66%. Ответ: 66%

Использованная литература и ресурсы Математика. ЕГЭ Вступительные испытания. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко. – Ростов-на-Дону: Легион, с. 3. Математика: Учеб. Для 5 кл. общеобразоват. учреждений/ Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. – 8-е изд. – М.: Мнемозина, с.: ил. 4. Учебно-методическая газета «Математика», 14, июля 2007 г.