Комбинаторика и теория вероятностей

Комбинаторика Задачи, в которых необходимо составлять определенным образом комбинации из нескольких предметов и находить число этих комбинаций называются комбинаторными. Сколько существует нечетных двузначных чисел меньше 35? 11, 13, 15, 17,19, 21,23, 25, 27, 29, 31, 33. Ответ: 12. Область математики, которая занимается изучением комбинаторных задач, называется комбинаторикой.

Правило умножения Пусть последовательно осуществляется k выборов. Если первый из них можно осуществить n 1 способами, второй – n 2 способами и т.д., k-й выбор – n k способами, то все k выборов можно осуществить n 1 n 2 … n k способами.

Правило умножения Пример 1. Сколько существует пятизначных чисел кратных 3? Решение. В качестве первой цифры записи этого числа можно выбрать любую из 9 цифр, кроме нуля. На втором, третьем, четвертом и пятом местах можно записать любую из 10 цифр. Количество пятизначных чисел равно = Каждое третье число делится на 3, тогда : 3 = чисел кратных трем. Ответ:

Перестановка Множество, состоящее из n элементов, называется n-элементным множеством. Упорядочение n-элементного множества (т. е. расположение элементов n-элементного множества в определенном порядке) называется перестановкой его элементов (перестановкой из n элементов). Число перестановок из n элементов обозначается Р n.

Перестановка Пример 2. Множество состоящее из трех элементов можно упорядочить шестью различными способами (из элементов этого множества можно составить ровно шесть перестановок). А В С;А С В;В С А; В А С; С А В; С В А.

Перестановка Произведение всех натуральных чисел от 1 до n обозначается n! (читается «эн-факториал»), т. е. n! = … (n – 1) n. Теорема. Число перестановок из n элементов находится по формуле Р n = n!

Перестановка Пример 3. Сколькими способами можно составить расписание из 7 различных уроков, чтобы алгебра и геометрия стояли рядом? Решение. Будем считать алгебру и геометрию стоящую рядом одним большим уроком математики. Тогда расписание возможно составить 6! различными способами. Из алгебры и геометрии можно составить 2 перестановки. Значит, расписание, в котором алгебра и геометрия стоят рядом, можно составить 2 6! = 1440 способами. Ответ: 1440.

Теория вероятностей – область математики, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким- либо образом с первыми.

Случайное событие Результат опыта, который мы не в состоянии учесть, т.е. он случаен, называется случайным событием или исходом. Например бросание монеты. Можем ожидать двух результатов: монета может упасть вверх «орлом» или «решкой». Эти исходы равновозможны и несовместимы. Каждый из равновозможных несовместимых исходов называется элементарным событием (элементарным исходом) Е i.

Благоприятствующие события Элементарное событие Е i благоприятствует событию А, если из того, что произойдет событие Е i следует, что произойдет А. Опыт: бросание игральной кости. Элементарные события: «выпало 1», «выпало 2», «выпало 3», «выпало 4», «выпало 5», «выпало 6». Если событие А – «выпавшее число – простое», то ему благоприятствуют элементарные события: «выпало 2», «выпало 3», «выпало 5». Если событие В– «выпавшее число – кратно трем», то ему благоприятствуют элементарные события: «выпало 3», «выпало 6».

Противоположное событие Событием, противоположным событию А (обозначается А, читается «А с чертой»), называется событие, которому благоприятствуют все те элементарные исходы, которые не благоприятствуют событию А.

Противоположное событие Опыт: бросание игральной кости. Элементарные события: «выпало 1», «выпало 2», «выпало 3», «выпало 4», «выпало 5», «выпало 6». Если событие А – «выпавшее число – кратно трем», то ему благоприятствуют элементарные события: «выпало 3», «выпало 6». Тогда событие А– «выпавшее число – не кратно трем» - противоположно событию А, ему благоприятствуют элементарные события: «выпало 1», «выпало 2», «выпало 4», «выпало 5».

Вероятность события Вероятностью события А (P(A)) называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих событию А (k), к общему числу этих исходов (n).

Вероятность события Опыт: бросание игральной кости. Элементарные события (6 возможных): «выпало 1», «выпало 2», «выпало 3», «выпало 4», «выпало 5», «выпало 6». Если событие А – «выпавшее число – простое», то ему благоприятствуют 3 элементарные события: «выпало 2», «выпало 3», «выпало 5». Тогда

Вероятность элементарного события Элементарному событию Е благоприятствует только оно само, поэтому его вероятность равна : Все элементарные события имеют одну и ту же вероятность; говорят, что они равновероятны. Опыт: выбор наугад из нечетных двузначных чисел. Элементарные события: 45 возможных (всего 45 двузначных нечетных чисел). Значит

Достоверное событие Событие называется достоверным (будем обозначать его буквой U), если в результате опыта оно обязательно произойдет. Опыт: бросание игральной кости. Элементарные события (6 возможных): «выпало 1», «выпало 2», «выпало 3», «выпало 4», «выпало 5», «выпало 6». Событие В – «выпавшее число – кратно 1» - достоверное, так как произойдет при любом исходе. Все элементарные исходы являются благоприятствующими событию U, и поэтому Р(U) = 1.

Невозможное событие Событие называется невозможным (будем обозначать его буквой О), если в результате опыта оно не может произойти. Опыт: бросание игральной кости. Элементарные события (6 возможных): «выпало 1», «выпало 2», «выпало 3», «выпало 4», «выпало 5», «выпало 6». Событие С – «выпавшее число – кратно 13» - невозможное, так как не может произойти ни при каком исходе. Все элементарные исходы не будут благоприятствовать событию О, и поэтому Р(О) = 0.