Системы уравнений

Система Система – слово греческого происхождения и в переводе означает «составленное из частей», «соединение».

Система двух линейных уравнений Определение. Линейной системой двух линейных уравнений с двумя переменными называется система вида а 1 х + b 1 у = с 1 а 2 х + b 2 у = с 2, где а 1, b 1, с 1, а 2, b 2, с 2 - заданные числа, такие что пары чисел а 1, b 1 и а 2, b 2, одновременно не равны нулю; х и у – переменные. 2 х + у = 4,2 х – у = 4, х – 3 у = -5;2 х + у = 4.

Решение системы уравнений Определение. Упорядоченная пара значений неизвестных, которые одновременно обращают каждое уравнение системы в верное числовое равенство, называется решением системы. Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что их нет. а) Система - имеет решение х = -1, у = 3, т.е. (-1; 3), так как b) Система не имеет решений. 3 х + 2 у = 3 2 х + у = 1 3 (-1) = 3 - верно 2 (-1) + 3 = 1 - верно 3 х - у = 5 6 х - 2 у = 41

Равносильные системы уравнений Определение. Две системы уравнений называются равносильными, если каждое решение первой системы является решением второй, и наоборот – каждое решение второй системы является решением первой, т.е. они имеют одни и те же решения. Система равносильна системе так как они имеют одни и те же решения: х = -1, у = 3. 3 х + 2 у = 3 2 х + у = 1 6 х + 4 у = 6 2 х + у +3 = 4

Равносильные системы уравнений Равносильными считаются и системы уравнений, которые не имеют решений. Система равносильна системе, поскольку обе системы не имеют решений. 3 х - у = 5 6 х - 2 у = 41 3 х - у = 5 6 х 2 + у 2 = -4

Равносильные системы уравнений Теорема. Если одно из уравнений системы заменить равносильным ему, то полученная система будет равносильна исходной. Система равносильна системе, так как уравнение 4 х – 6 у = 10 получено из уравнения 2 х – 3 у = 5 умножением обеих его частей на 2, т.е. они равносильны. 4 х – 6 у = 10 3 х + 7 у = 13 2 х – 3 у = 10 3 х + 7 у = 13

Решение системы двух линейных уравнений Система двух линейных уравнений а 1 х + b 1 у = с 1 а 2 х + b 2 у = с 2, где а 1, b 1, с 1, а 2, b 2, с 2 - заданные числа, такие что пары чисел а 1, b 1 и а 2, b 2, одновременно не равны нулю; х и у – переменные, имеет единственное решение, когда, (а 1 b 2 - а 2 b 1 0). Система имеет единственное решение, так как (-2) = 4 0. а 1 b 1 a 2 b 2 2 х + у = 4 х - 2 у = 7

-1 О 1 х у 1 у 0 у 0 х 0 х 0 М х - 2 у = 7 2 х + у = 4 Графическое решение системы двух линейных уравнений Система двух линейных уравнений а 1 х + b 1 у = с 1 а 2 х + b 2 у = с 2, имеет единственное решение, когда прямые, определяемые уравнениями системы, пересекаются. Система имеет единственное решение х 0 = 3, у 0 = х + у = 4 х - 2 у = 7

Решение системы двух линейных уравнений Система двух линейных уравнений а 1 х + b 1 у = с 1 а 2 х + b 2 у = с 2, где а 1, b 1, с 1, а 2, b 2, с 2 - заданные числа, такие что пары чисел а 1, b 1 и а 2, b 2, одновременно не равны нулю; х и у – переменные, не имеет решений, когда. Система не имеет решений, так как. 2 х + у = 4 6 х + 3 у = 2 а 1 b 1 с 1 a 2 b 2 с 2 = =

Система двух линейных уравнений а 1 х + b 1 у = с 1 а 2 х + b 2 у = с 2, не имеет решений, когда прямые, определяемые уравнениями системы, параллельны и не совпадают. Система не имеет решений. Графическое решение системы двух линейных уравнений 2 х + у = 4 6 х + 3 у = 2 -1 О 1 2 х у 1 2 х + у = 4 6 х +3 у = 2

Решение системы двух линейных уравнений Система двух линейных уравнений а 1 х + b 1 у = с 1 а 2 х + b 2 у = с 2, где а 1, b 1, с 1, а 2, b 2, с 2 - заданные числа, такие что пары чисел а 1, b 1 и а 2, b 2, одновременно не равны нулю; х и у – переменные, имеет бесконечно много решений, когда. Система имеет бесконечно много решений, так как. 2 х + у = 4 6 х + 3 у = 12 а 1 b 1 с 1 a 2 b 2 с 2 == ==

-1 О 1 х у 1 2 х + у = 4 6 х +3 у = 12 Графическое решение системы двух линейных уравнений Система двух линейных уравнений а 1 х + b 1 у = с 1 а 2 х + b 2 у = с 2, имеет бесконечно много решений, когда прямые, определяемые уравнениями системы, совпадают. Система имеет бесконечно много решений. 2 х + у = 4 6 х + 3 у = 12

Решение систем линейных уравнений способом сложения Чтобы исключить х из системы: 1) а 1 х + b 1 у = с 1 - первое уравнение умножить на а 2 а 2 х + b 2 у = с 2 - второе уравнение умножить на (-а 1 ) 2) сложить полученные уравнения: а 2 а 1 х + а 2 b 1 у = а 2 с 1 -а 1 а 2 х - а 1 b 2 у = -а 1 с 2 3)найти у из полученного уравнения; 4)найти х, используя любое уравнение исходной системы и найденное значение у. ! Можно решать систему, по аналогии исключая у. (а 2 b 1 – a 1 b 2 )y = a 2 c 1 – a 1 c 2

Решение систем линейных уравнений способом сложения 2 х – 7 у = 1 | 1 2 х – 7 = 1 х + 2 у = 6 | (-2)-2 х – 4 у = -12 т.е. у = 1. Найдем х из второго уравнения исходной системы: х = 6 – 2 у = 6 – 2 1 = 4. Ответ: (4; 1). -11 у = -11

Решение систем линейных уравнений способом подстановки 1)выразить какую-нибудь переменную из одного уравнения; 2)подставить ее выражение в другое уравнение; 3)решить полученное уравнение с одной переменной; 4)найти оставшуюся переменную, используя ее выражение из пункта 1.

Решение систем линейных уравнений способом подстановки 5 х – у = 3 Выразим у из первого уравнения и под- 2 х + 3 у = 25 ставим во второе уравнение системы. у = 5 х – 3 у = 5 х – 3 у = 5 х – 3 у = 7 2 х + 3(5 х – 3)= х = 34 х = 2 х = 2 Ответ: (2; 7).

Уравнения первой степени с двумя неизвестными Определение. Уравнением первой степени с двумя неизвестными х и у называется уравнение вида ах + by = c, где хотя бы один из коэффициентов а, b не равен нулю. 3 х - у = 5; 6 х - 2 у = 0; -6,2 х = 8; 0,8 у = 50. Линейное уравнение с двумя неизвестными, у которого хотя бы один из коэффициентов при неизвестных не равен нулю уравнение первой степени с двумя неизвестными. =

Уравнения второй степени с двумя неизвестными Определение. Уравнением второй степени с двумя неизвестными х и у называется уравнение вида ах 2 + bxy + cy 2 +dx + ey + f = 0, где хотя бы один из коэффициентов а, b, c не равен нулю. 2 х 2 +8 ху – 2 у х – у -2 = 0; 5 х ху +13 = 0.

Системы, состоящие из уравнения первой и уравнения второй степени 2 х 2 +8 ху – 2 у х – у -2 = 0; 2 х – у = 1. 2(2 х – 1) 2 +8(2 х – 1)у – 2 у 2 + 3(2 х – 1) – у -2 = 0; у = 2 х – 1; 10 х 2 + х – 3 = 0 у = 2 х – 1; х 1 = -0,6 х 2 = 0,5 у 1 = -2,2 у 2 = 0. Ответ: (-0,6; -2,2), (0,5; 0). Решаем систему методом подстановки