ТЕМА XXX. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ

1. ИНТЕНСИВНОСТЬ ПРИ НАЛОЖЕНИИ ВОЛН (I) Пусть две волны одинаковой частоты накладываясь друг на друга, создают в некоторой точке пространства колебания одинакового направления: Амплитуда результирующего колебания в данной точке определяется с помощью векторной диаграммы сложения колебаний одного направления: Если разность фаз с течением времени, то такие волны называются когерентными. В случае некогерентных волн с равной вероятностью любые значения. значение Этот результат означает, что интенсивность, наблюдаемая при наложении некогерентных волн, равна сумме интенсивностей каждой волны. возбуждаемых волнами колебаний не меняется непрерывно изменяется, принимая При этом среднее по времени Поэтому равно нулю.

1. ИНТЕНСИВНОСТЬ ПРИ НАЛОЖЕНИИ ВОЛН (II) В случае когерентных волн но свое для каждой точки пространства, значение. Если для данной точки а если в данной точке При наложении когерентных источников происходит перераспределение светового потока в пространстве: интенсивности света, а в других – минимумы. Особенно отчетливо проявляется интерференция в том случае, когда интенсивность обеих интерферирующих волн одинакова Тогда в максимумах волн в этом случае повсюду одинаковая интенсивность Таким образом Для некогерентных а в минимумах имеет постоянное во времени, в одних местах возникают максимумы Это – интерференция.

2. ПРОБЛЕМА КОГЕРЕНТНОСТИ Естественные источники света сами по себе некогерентные. Когерентные световые волны можно получить, разделив исходную волну на две части с помощью её отражений или преломлений. Если заставить эти две волны пройти до экрана разные оптические пути, а потом наложить их одна на другую, может наблюдаться интерференция. Некогерентность естественных источников света обусловлена тем, что излучение светящегося тела слагается из волновых цугов, испускаемых многими атомами. Каждый атом излучает независимо друг от друга в течение 10 нс. При этом фаза результирующей волны меняется случайным образом.

3. ОПТИЧЕСКАЯ РАЗНОСТЬ ХОДА Пусть есть два когерентных источника света. До точки A первая волна проходит в среде с показателем преломления а вторая волна проходит в среде с показателем преломления Для простоты допустим, что у обоих источников нулевые начальные фазы колебаний. Разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке A, будет равна Выразим циклическую частоту В результате выражение для разности фаз примет вид – это оптическая разность хода (разность оптических путей. путь Тогда обе волны возбудят в точке A колебания: в вакууме:через длину волны

4. ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ Если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме то разность фаз оказывается кратной и колебания, возбуждаемые в этой точке обеими волнами, будут происходить с одинаковой фазой – будет наблюдаться интерференционный максимум. Если оптическая разность хода равна полуцелому числу длин волн в вакууме то колебания в точке наблюдения будут происходить в противофазе – то есть наблюдается интерференционный минимум интенсивности света.

5. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ОТ ДВУХ СВЕТЯЩИХСЯ НИТЕЙ (I) Рассмотрим две цилиндрические когерентные световые волны от источников, имеющих вид тонких параллельных светящихся нитей либо узких щелей. Область, в которой эти волны перекрываются, называется полем интерференции. Внесем в поле интерференции экран, расположив его параллельно плоскости, проходящей через оба источника света, на расстоянии На экране будет наблюдаться интерференционная картина в виде чередующихся темных и светлых полос. Вычислим координаты точек, для которых интенсивность света на экране максимальна или минимальна. от нее.

5. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ОТ ДВУХ СВЕТЯЩИХСЯ НИТЕЙ (II) Начало отсчета координаты выберем в точке, относительно которой источники света расположены симметрично. Из рисунка видно, что Будем считать, что источники света совершают колебания в одной фазе. Преобразуем левую часть полученного уравнения: Для получения четкой интерференционной картины расстояние источниками должно быть значительно меньше расстояния Расстояние полосы, также бывает значительно меньше При этих условиях можно считать, что между до экрана. в пределах которого образуется интерференционные

5. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ОТ ДВУХ СВЕТЯЩИХСЯ НИТЕЙ (III) Нами получено уравнение, связывающее между собой координату экране, расстояния источников света, расстояние между источниками и расстояние от источников до экрана Умножая обе части на коэффициент преломления среды, введем в уравнение оптическую разность хода Максимумы интенсивности будут наблюдаться в точках, для которых оптическая разность хода равна четному числу полуволн в вакууме, а минимумы – если нечетному числу полуволн. точки на от нее дои То есть,

5. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ОТ ДВУХ СВЕТЯЩИХСЯ НИТЕЙ (IV) Расстояние между соседними максимумами называется расстоянием между полосами, полосы. следует, что расстояние между полосами и ширина полосы равны между собой Расстояние между полосами растет с уменьшением расстояния источниками. порядка микрометра. Для отчетливой интерференционной картины необходимо, чтобы Если интенсивность интерферирующих волн одинакова а между минимумами – шириной интерференционной Из формул для координат максимумов и минимумов между то есть расстояние между полосами то При В этом случае отдельные полосы неразличимы.

6. ВРЕМЕННАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ Когерентностью называется согласованное протекание нескольких колебательных или волновых процессов. Различают временную и пространственную когерентность. Временная когерентность обусловлена тем, что описание интерференции с помощью модели монохроматической волны является абстрагированием от действительной ситуации. Реальная световая волна образуется наложением колебаний частот или длин волн, заключенных в некотором конечном диапазоне. Амплитуда волны и начальная фаза претерпевают со временем случайные изменения. Колебания, возбуждаемые в некоторой точке пространства двумя накладывающимися друг на друга световыми волнами, имеют вид причем хаотическое изменение всех функций с течением времени происходят совершенно независимо.

7. ВРЕМЯ КОГЕРЕНТНОСТИ. ДЛИНА КОГЕРЕНТНОСТИ Фаза результирующей волны, образованной наложением огромного числа отдельных цугов, порождаемых отдельными атомами изменяется случайным образом небольшими шагами, т.е. совершает случайные блуждания, постепенно удаляясь от первоначального значения. Время фазы волны примерно равно временем когерентности. как бы забывает свою первоначальную фазу и становится некогерентным по отношению к самому себе. Квазимонохроматический свет, содержащий длины волн в интервале имеет время когерентности Расстояние называется длиной когерентности ( или длиной цуга когерентности). Длина когерентности есть – это то расстояние, на котором изменение фазы волны достигает значения примерно равного за которое случайное изменение называется За это время колебание на которое перемещается волна за время

8. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПОРЯДОК ИНТЕРФЕРЕНЦИИ Время когерентности связано с длительностью цуга когерентности, поэтому время когерентности будет определяться выражением То есть, чем шире интервал частот, представленных в данной световой волне, тем меньше время когерентности этой волны. Частота волны связана с длиной волны в вакууме соотношением Продифференцировав это соотношение, установим связь между шириной частот и шириной длин волн (знак минус опускаем за ненадобностью) Если оптическая разность хода для максимума m-го порядка достигает значения, близкого к длине когерентности, этого m-го порядка становятся неразличимыми. порядок интерференции будет то полосы интерференции То есть, предельный

9. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ Согласно формуле разбросу частот разброс значений волнового вектора То есть временная когерентность связана с разбросом значений модуля волнового вектора Пространственная когерентность связана с разбросом Возникновение в некоторой точке пространства световых колебаний, возбуждаемых волнами с разными волны испущены разными участками протяженного (неточечного) источника света. Источник из данной точки виден под углом интервал, в котором заключены орты тогда его величина связана с характерным размером источника и расстоянием наблюдения простым соотношением соответствует направлений возможно в том случае, если эти от источника до точки Этот угол характеризует Будем считать этот угол малым,

10. РАДИУС КОГЕРЕНТНОСТИ Если ширина источника такая, что то интерференционная картина отсутствует. Это означает, что волны, проходящие от краёв источника не когерентны. На основании этого вводят понятие радиуса когерентности волнового фронта на расстояние радиуса когерентности случайное изменение фазы достигает значения порядка Колебания в двух точках волнового фронта, отстоящих друг от друга на расстояние, меньшее радиуса когерентности Угловой размер Солнца составляет около 0,01 рад, длина световых волн равна примерно 0,5 мкм. солнечного света имеет значение порядка Пространственная когерентность световой волны вблизи поверхности излучающего тела ограничена значением удаления от источника радиус пространственной когерентности растет. При смещении вдоль будут когерентными. Следовательно, радиус когерентности для По мере

11. БИЗЕРКАЛА ФРЕНЕЛЯ (I) Два плоских соприкасающихся зеркала располагаются так, что их отражающие поверхности образуют угол, близкий к соответственно угол Параллельно линии пересечения зеркал на расстоянии нитевидный источник света. Зеркала отбрасывают на экран две цилиндрические когерентные волны, Луч OQ является отражением луча SO в зеркале 1, луч OP – отражением луча SO в зеркале 2. Расстояние между источниками Расстояние от плоскости источников до точки очень мал. распространяющиеся так, как если бы они исходили из мнимых источников от нее помещен и Очевидно, что равной

11. БИЗЕРКАЛА ФРЕНЕЛЯ (II) Картина, создаваемая бизеркалами, эквивалентна интерференции от двух нитевидных источников, полосы найдем по формуле Учитывая, что получим ширину интерференционной полосы: Область перекрытия волн PQ имеет протяженность Разделив эту величину на ширину полосы, найдем полное число полос интерференции, которые можно наблюдать при фиксированных параметрах системы: тогда ширину

12. БИПРИЗМА ФРЕНЕЛЯ (I) Изготовленные из одного куска стекла две призмы с малым преломляющим углом имеют одну общую грань. Параллельно этой грани на расстоянии расположен нитевидный источник света Для малых углов падения лучей на призму, все лучи отклоняются призмой на угол – показатель преломления призмы. В результате преломления лучей на половинках бипризмы образуются две когерентные цилиндрические волны, исходящие из мнимых источников лежащих в одной плоскости с Расстояние между источниками равно Расстояние от источников до экрана – расстояние от призмы до экрана. от нее и

12. БИПРИЗМА ФРЕНЕЛЯ (II) Определим ширину интерференционной полосы по формуле Область перекрытия волн PQ имеет протяженность Максимальное число наблюдаемых полос составляет Для того, чтобы все эти полосы были действительно видны, необходимо учесть ограничения, накладываемые временной когерентностью, то есть

13. ОПЫТ ЮНГА Томас Юнг в 1802 г. впервые получил интерференционную картину, увеличив пространственную когерентность света, идущего от Солнца. Такое увеличение Юнг осуществил, пропустив свет через тонкую щель в непрозрачном экране. Затем этим светом освещались две тонкие щели во втором непрозрачном экране. На третьем непрозрачном экране наблюдалась интерференционная картина цилиндрических волн. Оптическая разность хода

14. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ В ТОНКИХ ПЛЕНКАХ (I) При падении световой волны на тонкую прозрачную пластинку (пленку) происходит отражение волны от обеих поверхностей. В результате возникают две волны, которые в случае их когерентности интерферируют. Разность хода, приобретаемая лучами 1 и 2 до того, как они сойдутся в одной точке P, равна а – суммарная длина отрезков АB и ВС, пленки. равным единице. – длина отрезка AD,где – показатель преломления Показатель преломления окружающей пленку среды полагаем Из рисунка видно, что

14. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ В ТОНКИХ ПЛЕНКАХ (II)

14. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ В ТОНКИХ ПЛЕНКАХ (III)

14. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ В ТОНКИХ ПЛЕНКАХ (IV) При вычислении разности фаз между колебаниями в световых лучах 1 и 2 необходимо, кроме оптической разности хода фазы волны при отражении. В точке А отражение луча 1 происходит от оптически более плотной среды. Поэтому фаза отраженной волны скачком изменяется на В точке B отражение луча 2 происходит от оптически менее плотной среды. возникает дополнительная разность фаз, равная добавив к учесть возможное изменение В итоге между лучами 1 и 2Поэтому скачка фазы не происходит. Её можно учесть, (или вычитая из нее) половину длины волны в вакууме:

14. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ В ТОНКИХ ПЛЕНКАХ (V) ВРЕМЕННАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ Для того, чтобы имела место временная когерентность, разность хода должна превышать длину когерентности: Пусть: тогда, не

14. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ В ТОНКИХ ПЛЕНКАХ (VI) ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ Параллельные лучи (1 и 2) плоской волны будут когерентными, если расстояние АД между ними не превышает радиуса когерентности Выразим АД через толщину пластины и углы падения и преломления:

15. ПОЛОСЫ РАВНОГО НАКЛОНА Пусть тонкая пластинка освещается рассеянным монохроматическим светом. Параллельный пластинке экран поместим в фокальной плоскости линзы. Условие интерференционных максимумов на экране имеет вид: Лучи, падающие на пластинку под углом окружности и создадут освещенность, определяемую оптической разностью хода. углом и создадут другую освещенность при другой В результате на экране возникает система светлых и темных круговых полос с центром в точке О. Картина получила название полос равного наклона. соберутся линзой на одной Лучи, падающие под соберутся на окружности другого радиуса

16. ПЛАСТИНКА ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ (I) Возьмем пластинку в виде клина с углом при вершине падает параллельный пучок лучей. После отражения от разных поверхностей клина лучи перестанут будут параллельными. Лучи 1 и 1 пересекутся после отражения в точках Q и Q. Эти точки лежат в плоскости, проходящей через точку О. Отразившийся от нижней поверхности луч 1 и отразившийся от верхней поверхности луч 2 пересекутся в точке R, расположенной ближе к клину чем Q. поверхности клина дальше, чем Q. Временная когерентность будет соблюдаться для тех лучей, для которых выполняется условие Если расположить экран так, чтобы он проходил через точки Q и Q, то картина интерференции возникнет независимо от радиуса когерентности. Пусть на неё Аналогично лучи 1 и 3 пересекутся в точке P, отстоящей от Будем считать это справедливым.

16. ПЛАСТИНКА ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ (II) При малом угле клина разность хода лучей можно вычислять как для пластины: Поскольку разность хода для лучей, отразившихся от различных участков клина неодинакова – появится система светлых и темных полос. в результате отражения от участков с одинаковой толщиной. называют полосами равной толщины. на экране Каждая полоса получается Поэтому их

17. КОЛЬЦА НЬЮТОНА (I) Классическим примером полос равной толщины являются кольца Ньютона. Они наблюдаются при отражении света от соприкасающихся друг с другом плоскопараллельной толстой стеклянной пластинки и плоско-выпуклой линзы с большим радиусом кривизны. Роль тонкой пленки, от поверхности которой отражаются интерферирующие волны, играет воздушный зазор между пластинкой. При нормальном падении света полосы равной толщины имеют вид концентрических окружностей, а при наклонном падении – эллипсов.

17. КОЛЬЦА НЬЮТОНА (II) Для воздуха падении света Оптическую разность хода в воздушном зазоре можно вычислить как для тонкой пластинки: Из прямоугольного треугольника OBC следует, что Для временной и пространственной когерентности требуется, чтобы При нормальном

17. КОЛЬЦА НЬЮТОНА (III) Приравняем оптическую разность хода условию интерференционных максимумов. В результате получим уравнение Аналогично для минимумов интерференции: В центре картины минимум из за скачка фазы волны на при отражении от пластинки.

18. ПРОСВЕТЛЕНИЕ ОПТИКИ В основе просветления оптики лежит интерференция при отражении от тонких пленок. При прохождение света через преломляющую поверхность отражается примерно 4% от падающего светового потока. Для устранения отражения света на каждую свободную поверхность линзы наносится тонкая пленка вещества с иным показателем преломления, чем у линзы. Толщина пленки подбирается так, чтобы волны, отраженные от обеих её поверхностей, гасили друг друга: