Методы решения логических задач Теория, мой друг, суха, но зеленеет жизни древо. И. В. Гете

Цель занятия: Расширить знания о методах и способах решения логических задач. Научиться выбирать методы и способы решения в каждом конкретном случае.

Методы решения логических задач: Метод логических рассуждений Метод кругов Эйлера. Табличный метод Средствами алгебры логики Метод бильярда

Способ рассуждений - самый примитивный способ. Этим способом решаются самые простые логические задачи. Его идея состоит в том, что мы проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи. Познакомиться с этим методом можно на следующем примере. Задача 1. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение. Имеется три утверждения. Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно. Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно. Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей. Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил японский, Вадим арабский.

Графический способ решения логических задач, основанный на применении кругов Эйлера-Венна Упростить решение многих логических задач помогают так называемые круги Эйлера, с помощью которых можно изобразить множество элементов, обладающих определенным свойством. Тип задач: Метод кругов Эйлера позволяет графически решать математические задачи, основанные на применении теории множеств.

Графический способ решения логических задач, основанный на применении кругов Эйлера-Венна Формальный способ решения подобных задач 1. Выделить в тексте задачи рассматриваемые свойства объектов. 2. Заполнить круги Эйлера-Венна, проанализировав соответствие объектов и присущих им свойств. 3. Выбрать решение – набор значений простых высказываний, при котором соответствие объектов и свойств является истинным. 4.Проверить, удовлетворяет ли полученное решение условию задачи.

Решение логических задач методом рассуждений с применением кругов Эйлера – Венна. На всякого мудреца довольно простоты. Пословица В трёх седьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке - 10 ребят из хора, в хоре - 6 спортсменов, в драмкружке - 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят занято только спортом?

спорт драмкружок хор 70 Решение:

Решение логических задач с применением графического и табличного способов решения логических задач. Сначала приговор, потом доказательство. Л. Керролл Марина, Лариса, Жанна и Катя умеют играть на разных инструментах: на пианино, на виолончели, на гитаре, на скрипке, но каждая - только на одном. Они же знают иностранные языки: английский, французский, немецкий и испанский, но каждая - только один. Известно: девушка, которая играет на гитаре, говорит по-испански. Лариса не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка. Марина не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает ни немецкого, ни английского. девушка, которая говорит по-немецки, не играет на виолончели. Жанна знает французский язык, но не играет на скрипке. Кто на каком инструменте играет и какой иностранный язык знает?

Решение логических задач с применением графического и табличного способов решения логических задач. Многие логические задачи связаны с рассмотрением нескольких конечных множеств с одинаковым количеством элементов, между которыми имеются некоторые зависимости. Требуется установить взаимно однозначное соответствие между элементами данных множеств. Решение такого типа задач оформляется в виде таблицы. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи. Тип задач: Задачи, связанные с рассмотрением нескольких конечных множеств с одинаковым количеством элементов, между которыми имеются некоторые зависимости, в которых требуется установить взаимно однозначное соответствие между элементами данных множеств.

Решение логических задач с применением графического и табличного способов решения логических задач. Формальный способ решения подобных задач 1. Выделить в тексте задачи рассматриваемые объекты и их свойства. 2. Заполнить таблицы, проанализировав соответствие объектов и присущих им свойств. 3. Выбрать решение – набор значений простых высказываний, при котором соответствие объектов и свойств является истинным. 4.Проверить, удовлетворяет ли полученное решение условию задачи.

Задача: Марина, Лариса, Жанна и Катя умеют играть на разных инструментах: на пианино, на виолончели, на гитаре, на скрипке, но каждая - только на одном. Они же знают иностранные языки: английский, французский, немецкий и испанский, но каждая - только один. Известно: девушка, которая играет на гитаре, говорит по-испански. Лариса не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка. Марина не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает ни немецкого, ни английского. девушка, которая говорит по-немецки, не играет на виолончели. Жанна знает французский язык, но не играет на скрипке. Кто на каком инструменте играет и какой иностранный язык знает?

Решение: составим таблицу соответствия объектов и свойств объектов Пиани- но Виолон- чель Гита- ра Скрип- ка Немец- кий Испан- ский Англий- ский Француз- ский Мари- на Лари- са Жанна Катя

Лариса не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка. Марина не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает ни немецкого, ни английского. Жанна знает французский язык, но не играет на скрипке. Пиани- но Виолон- чель Гита- ра Скрип- ка Немец- кий Испан- ский Англий- ский Француз- ский -- Мари- на Лари- са - - Жанна + Катя

Лариса не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка. Марина не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает ни немецкого, ни английского. Жанна знает французский язык, но не играет на скрипке. Пиани- но Виолон- чель Гита- ра Скрип- ка Немец- кий Испан- ский Англий- ский Француз- ский -- Мари- на Лари- са -- - Жанна ---+ Катя -

Значит: Марина говорит по-испански, а Катя – по-английски. Катя играет на скрипке. Пиани- но Виолон- чель Гита- ра Скрип- ка Немец- кий Испан- ский Англий- ский Француз- ский -- Мари- на Лари- са -- - Жанна ---+ Катя -

Значит: Марина говорит по-испански, а Катя – по-английски. Катя играет на скрипке. Пиани- но Виолон- чель Гита- ра Скрип- ка Немец- кий Испан- ский Англий- ский Француз- ский -- Мари- на Лари- са Жанна Катя --+-

Значит: Жанна играет на виолончели Лариса говорит по-немецки Пиани- но Виолон- чель Гита- ра Скрип- ка Немец- кий Испан- ский Англий- ский Француз- ский -- Мари- на Лари- са Жанна Катя --+-

Значит: Жанна играет на виолончели Лариса говорит по-немецки Пиани- но Виолон- чель Гита- ра Скрип- ка Немец- кий Испан- ский Англий- ский Француз- ский -- Мари- на Лари- са Жанна Катя --+-

Девушка, которая говорит по-испански, играет на гитаре. Значит: Марина играет на гитаре Пиани- но Виолон- чель Гита- ра Скрип- ка Немец- кий Испан- ский Англий- ский Француз- ский -- Мари- на Лари- са Жанна Катя --+-

Девушка, которая говорит по-испански, играет на гитаре. Значит: Марина играет на гитаре Пиани- но Виолон- чель Гита- ра Скрип- ка Немец- кий Испан- ский Англий- ский Француз- ский --+- Мари- на Лари- са Жанна Катя --+-

Значит: Лариса играет на пианино Пиани- но Виолон- чель Гита- ра Скрип- ка Немец- кий Испан- ский Англий- ский Француз- ский --+- Мари- на Лари- са Жанна Катя --+-

Значит: Лариса играет на пианино Пиани- но Виолон- чель Гита- ра Скрип- ка Немец- кий Испан- ский Англий- ский Француз- ский --+- Мари- на Лари- са Жанна Катя --+-

Ответ: Марина играет на гитаре и говорит по-испански Лариса играет на пианино и говорит по-немецки Жанна играет на виолончели и говорит по-французски Катя играет на скрипке и говорит по-английски Пиани- но Виолон- чель Гита- ра Скрип- ка Немец- кий Испан- ский Англий- ский Француз- ский --+- Мари- на Лари- са Жанна Катя --+-

Решение логических задач посредством алгебры логики Наиболее сложный, но универсальный способ. Тип задач: Задачи, в которых исходными данными являются высказывания об объектах и происходящих с ними событиях.

Решение логических задач посредством алгебры логики Формальный способ решения подобных задач: 1. Выделить из условия задачи элементарные (простые) высказывания и обозначить их буквами. 2. Записать условие на языке алгебры логики, соединив простые высказывания в сложные с помощью логических операций. 3. Используя законы алгебры логики, попытаться упростить полученное выражение и вычислить все его значения либо построить таблицу истинности. 4. Выбрать решение – набор значений простых высказываний, при котором построенное логическое выражение является истинным. 5.Проверить, удовлетворяет ли полученное решение условию задачи.

Решение логических задач посредством алгебры логики В математике нет символов для неясных мыслей А. Пуанкаре Три подразделения А, В, С торговой фирмы стремились получить по итогам года максимальную прибыль. Экономисты высказали следующие предположения: 1. А получит максимальную прибыль только тогда, когда получат максимальную прибыль В и С. 2. Либо А и С получат максимальную прибыль одновременно, либо одновременно не получат 3. Для того чтобы подразделение С получило максимальную прибыль, необходимо, чтобы и В получило максимальную прибыль. По завершении года оказалось, что одно из трех предположений ложно, а остальные два истинны. Какие из названных подразделений получили максимальную прибыль?

Решение: Рассмотрим простые высказывания: А = {А получит максимальную прибыль}, В = {В получит максимальную прибыль}, С = {С получит максимальную прибыль}. Запишем на языке алгебры логики прогнозы, высказанные экономистами: Составим таблицу истинности для F 1 F 2, F 3.

Рассмотрим простые высказывания: А = {А получит максимальную прибыль}, В = {В получит максимальную прибыль}, С = {С получит максимальную прибыль}. Запишем на языке алгебры логики прогнозы, высказанные экономистами: Составим таблицу истинности для F 1 F 2, F 3.

Рассмотрим простые высказывания: А = {А получит максимальную прибыль}, В = {В получит максимальную прибыль}, С = {С получит максимальную прибыль}. Запишем на языке алгебры логики прогнозы, высказанные экономистами: Составим таблицу истинности для F 1 F 2, F 3. Теперь вспомним, что один из прогнозов F 1 F 2, F 3 оказался ложным, а остальные два истинными. Эта ситуация соответствует четвертой строке таблицы. Ответ: В и С получат максимальную прибыль.

Метод бильярда. Представьте себе горизонтальный бильярдный стол произвольной формы, но без луз. По этому столу без трения движется точечный шар, абсолютно упруго отражаясь от бортов стола. Спрашивается, какой может быть траектория этого шарика? Поиски ответа на этот вопрос и послужили появлению теории математического бильярда или теории траекторий. Задачи на переливание жидкостей можно очень легко решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов стола, имеющего форму параллелограмма. Задача. Имеются два сосуда трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 литров воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду.

Решение. В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь длины 3 и 5 единиц. По горизонтали будем откладывать количество воды в литрах в 5-литровом сосуде, а по вертикали – в 3- литровом сосуде. На всем параллелограмме нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников (см.рис.1).

Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль выходящего из точки борта, где произошло соударение. При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов. Пусть шар находится в левом нижнем углу и после удара начнет перемещаться вверх вдоль левой боковой стороны параллелограмма до тех пор, пока не достигнет верхней стороны в точке А. Это означает, что мы полностью наполнили водой малый сосуд. Отразившись упруго, шар покатится вправо вниз и ударится о нижний борт в точке В, координаты которой 3 по горизонтали и 0 по вертикали. Это означает, что в большом сосуде 3 литра воды, а в малом сосуде воды нет, то есть мы перелили воду из малого сосуда в большой сосуд.

Прослеживая дальнейший путь шара и записывая все этапы его движения в виде отдельной таблицы (табл.1), в конце концов, мы попадаем в точку Н, которая соответствует состоянию, когда малый сосуд пуст, а в большом сосуде 4 литра воды. Таким образом, получен ответ и указана последовательность переливаний, позволяющих отмерить 4 литра воды. Все 8 переливаний изображены схематически в таблице.

Является ли это решение самым коротким? Нет, существует второй путь, когда воду сначала наливают в пятилитровый сосуд. Если на диаграмме шар из точки О покатится вправо по нижней стороне параллелограмма и затем, отразившись от правой боковой стороны, в точку 2 на верхней стороне параллелограмма и т.д., то получим более короткое решение задачи. Можно показать, что полученное решение с 6 переливаниями уже является самым коротким.

Спасибо за внимание !