Научно-исследовательская работа по математике «Методы решения уравнений и неравенств с модулем» Выполнила : Шелковникова Ольга Ученица 9 а класса Руководитель: Кирпичева В.К учитель математики

Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит. ( Ал – Бируни) цели: обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме «Абсолютная величина»; обретение практических навыков выполнения заданий с модулем; повышение уровня математической подготовки.

задачи: вооружение системой знаний по теме «Абсолютная величина»: формирование навыков применения данных знаний при решении разнообразных задач различной сложности; подготовка к ОГЭ и ЕГЭ; формирование навыков самостоятельной работы; формирование навыков работы со справочной литературой, с компьютером; формирование умения и навыков исследовательской работы; способствует развитию алгоритмического мышления; способствует формированию познавательного интереса к математике.

Определение модуля. Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа а называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное. Модуль числа а обозначается так а. а, если а > 0 |а| = -а, если а < 0 Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета. Если а 0, то на координатной прямой существует две точки a и -a, равноудаленной от нуля, модули которых равны. Если a = 0, то на координатной прямой |a| изображается точкой 0 (см. рис.)

Основные свойства модуля: 1. Модуль любого действительного числа а есть неотрицательное число: |а Каждое действительное число а не больше своего модуля и не меньше числа, противоположного модулю, т.е. -|а|а|а|. 3. Если число а 0 и для числа Х справедливо одно из неравенств х а или х а, то модуль числа х удовлетворяет неравенству |x|а. Каждое число х, удовлетворяющее неравенству |x|а, удовлетворяет одному из неравенств ха или ха. 4. Если число а>0 и число х удовлетворяет неравенству -а х а, то модуль числа х удовлетворяет неравенству |х| а. Если |х| а, то справедливо неравенство: -аха. 5. Модуль суммы двух или более слагаемых не больше суммы модулей этих чисел: |а + b| |a|+|b|. 6. Модуль разности двух чисел не меньше разности модулей этих чисел |a - b| |a|-|b|.

7. Модуль произведения двух или более множителей равен произведению модулей этих чисел: |ab|=|a||b|. 8. Модуль частного двух чисел равен частному модулей этих чисел: |a/b|=|a|/|b|. 9. Модуль степени какого-либо числа равен степени модуля этого числа: |a|n= an причем если n =2 к – четное число, то a 2k = а 2 к. 10. Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками числовой прямой, изображающими эти числа: |a - b|=p(a,b). Из этого свойства следует важное равенство: |a - b|=|b - a|. В частности, |a|=|-a|. 11. Сумма модулей чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое число равно нулю. 12. Модуль разности модулей двух чисел не больше модуля разности этих чисел: ||a|-|b|||a - b|. 13. Квадратный корень квадрата числа равен модулю этого числа: а 2 = а.

Способы решения уравнений, содержащих модуль. Аналитический ( Для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа ) Графический ( Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций. В случае если графики пересекутся, точки пересечений данных графиков будут являться корнями нашего уравнения. В случае если графики не пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет ) Мы решим несколько примеров аналитическим и графическим способом и посмотрим, какой из способов окажется проще для решения уравнений, содержащих модуль.

Пример 1. Решим аналитически и графически уравнение |x - 2| = 3. Решение: Аналитическое решение. 1-й способ Рассуждать будем, исходя из определения модуля. Если выражение, находящееся под модулем неотрицательно, т. е. x – 2 0, тогда оно "выйдет" из - под знака модуля со знаком "плюс" и уравнение примет вид: x - 2 = 3. Если значения выражения под знаком модуля отрицательно, тогда, по определению, оно будет равно: - (х – 2) = 3 или x – 2 = -3 Таким образом, получаем, либо x - 2 = 3, либо x - 2 = -3. Решая полученные уравнения, находим: х 1 = 5, х 2 = -1. Ответ: х 1 = 5, х 2 = -1. Графическое решение. Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций у = х - 2 и у = 3. Ответ: х 1 = -1, х 2 = 5.

Пример 2. Решим аналитически и графически уравнение 1 + | x | = 0,5. Решение: Аналитическое решение. Преобразуем уравнение: 1 + | x | = 0,5 | x | =0,5-1 | x |= -0,5 Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как, по определению, модуль всегда неотрицателен. Ответ: решений нет. Графическое решение. Преобразуем уравнение: 1 + | x | = 0,5 | x | =0,5-1 | x |= -0,5 Графики не пересекаются, значит, уравнение не имеет решений. Ответ: нет решений.

Пример 9. Решить уравнение 3| x + 2 | + x2 + 6x + 2 = 0. Решение. Рассмотрим два случая. Ответ: (– 4; – 1).

Пример 10. Решить уравнение | 4 – x | + | (x – 1)(x – 3) | = 1. Решение. Учитывая, что | 4 – x | = | x – 4 |, рассмотрим четыре случая.

Графический способ. Построим графики функций y = |(x–1)(x–3)| и y=1–|x– 4|

Решение при помощи зависимостей между числами a и b, их модулями и квадратами этих чисел. Помимо приведенных мною выше способов существует определенная равносильность, между числами и модулями данных чисел, а также между квадратами и модулями данных чисел: a = b или a = -b |a|=|b| (1) a = b или a = -b a2=b2 (2) Отсюда в свою очередь получим, что a2=b2 |a| = |b| Пример 4. Решим уравнение |x + 1|=|2x – 5| двумя различными способами. 1. Учитывая соотношение (1), получим: x + 1 = 2x – 5 или x + 1 = -2x + 5 x – 2x = -5 – 1 x + 2x = 5 – 1 -x = -6 3x = 4 x = 6 x = 4/3 Корень первого уравнения x = 6, корень второго уравнения x =4/3 Таким образом, корни исходного уравнения x1 = 6, x2 = 4/3

2. В силу соотношения (2), получим (x + 1)2 = (2x – 5)2, или x2 + 2x + 1 = 4x2 – 20x + 25 x2 – 4x2 + 2x x – 25=0 -3x2 + 22x – 24 = 0 |(:-1) 3x2 – 22x + 24=0 D = 484 – 288 = 196 > 0, => 2 р.д.к. x1= ( )/6 = 6 x2= (22 – 14)/6 = 4/3 Как показывает решение, корнями данного уравнения также являются числа 4/3 и 6 Ответ: x1 = 6, x2 = 4/3.

Пример 6. Решим уравнение |x – 6|=|x2 – 5x + 9| Пользуясь соотношением (1), получим: х – 6=х 2 – 5 х + 9 или х – 6 = -(х 2 – 5 х + 9) -х х + х – 6 – 9=0 |(-1) x – 6 = -x2 + 5x – 9 x2 - 6x + 15 = 0 x2 – 4x + 3=0 D = 36 – 60 0, => 2 р.д.к. x1=(4- 2) /2 =1 x2=(4 + 2) /2 =3 Ответ: x1 =1; x2 = 3.

Решение неравенств, содержащих модуль. 1. Решить неравенство х Решение: х х + 2 = 0, х = х х є (-; - 2), х є (-; - 2), - х – 2 5; х - 7; х є [- 2; + ), х є [- 2; + ) х х х є(- 2; 3] х є [- 7; 3] х є [- 7; - 2)

3. Решить неравенство 3 х + 61 < -1 Решение: 3 х + 61 < -1, решений не имеет (по опред. модуля) Ответ: решений нет. 4. Решить неравенство 2 х – 4 < х – 1 Решение: 2 х – 4 < х – 1 2 х – 4 = 0, х = 2. 2 х х є (-; 2), х є (-; 2), -2 х + 4 5; 5 2 х (5; 2) 3 3 х є [2; +), х є [2; +), 2 х – 4 < х – 1. х < х [2; 3) х (5; 3) 3 3 Ответ: х є (5; 3) 3

6. Решить неравенство |х - 2|³ + |х - 2| 0 Решение: |х - 2|³ + |х - 2| 0 |х - 2| = t, t 0. t³ + t 2, t³ + t – 2 0, ( t – 1)( t² + t + 2) 0, t 0. t 0. t 0. t – 1 0, t 1, t² + t + 2 = 0 t 0. t 0. D = -70,корней нет х - 2| > 1 х – 2 > 1; х > 3, х – 2 < -1. х < х (-; 1)U(3; +) Ответ: х є (-; 1)U(3; +)

Заключение. В заключении я бы хотела сказать, что мне было очень интересно работать с данной темой. Я познакомилась с аналитическими и графическими решениями уравнений И НЕРАВЕНСТВ с модулями, научилась строить графики функций, содержащих выражение под знаком модуля. А для этого прочитала и изучила немало дополнительной литературы. Получив эти знания, мне будет совсем нетрудно выбирать рациональный способ решения уравнений. Исследовательская работа не закончена, т.к. я планирую так же досконально на следующий год изучить тему «Параметры», а там много вопросов, связанных с модулями. Конечно же, сложно было работать с теми заданиями, вопрос о которых не полностью раскрывается в школьном курсе математики. Но благодаря своей исследовательской работе, я научилась систематизировать различные методы решения, расширила и укрепила знания, связанные модулем; подготовилась для дальнейшего изучения тем, использующих это понятие, научилась решать разнообразные задачи различной сложности; выработала и закрепила навыки работы на компьютере.