Математика в искусстве « Построение теней в перспективных рисунках. » Выполнила: Лазарева Юлия Ученица 10 класса МОУ «Куриловская гимназия» преподаватель: Квятковская Евгения Александровна.

Перспектива – это грамматика изобразительного искусства. Перспективные проекции, получающиеся путём центрального проектирования, являются научной базой реалистического рисунка, так как дают возможность получать изображения предметов, близкие к их зрительному образу. Вместе с тем этот вид проекций используется и для построения наглядных изображений различных технических объектов. Такие изображения, как и метод их построения, называют перспективой. Перспектива может быть построена различными способами и на различных поверхностях: на вертикальной и наклонной плоскостях, на поверхности цилиндра, шара и т.д. Принято различать следующие основные виды перспектив. Л и н е й н а я п е р с п е к т и в а – изучает способы построения перспективных изображений на плоскости как вертикальной, так и наклонной. Н а б л ю д а т е л ь н а я п е р с п е к т и в а – даёт свод правил для рисования с натуры с учётом законов перспективы. В о з д у ш н а я п е р с п е к т и в а – учитывает изменение освещённости и окраски предметов при зрительном восприятии их с различных расстояний через толщу воздуха. Эффект воздушной перспективы объясняется тем, что в естественных условиях воздух загрязнён посторонними примесями и, следовательно, не может быть абсолютно прозрачным. М е х а н и ч е с к а я п е р с п е к т и в а – даёт возможность строить изображения с помощью приборов, минуя сложные геометрические построения.

Время возникновения первых перспективных изображений точно не установлено. Процесс этот был длительным и не мог проходить одновременно и одинаково во всех уголках земного шара. Известно, что египтяне, вавилоняне и ассирийцы задолго до нашей эры высекали на камнях различные композиции на охотничьи, бытовые и военные темы. При раскопках ассирийского города Ниневии были обнаружены каменные барельефы, украшавшие стены царского дворца и относящиеся к VII веку до нашей эры. Эти барельефы были выполнены на глаз. Строительство грандиозных египетских храмов, дворцов и пирамид, как и величайших сооружений древней Греции и древнего Рима, потребовало от специалистов теоретической разработки основных правил начертательной геометрии для выполнения проектных чертежей. Одной из первых известных научных работ по перспективе был труд Эвклида, написанный за 300 лет до нашей эры. В нём содержится 61 теорема и 12 аксиом. Из трактата архитектора Витрувия, жившего в конце I до нашей эры, мы узнаём, что римляне пользовались перспективой при составлении архитектурно- строительных чертежей.

В эпоху Возрождения в связи с невиданным до тех пор развитием инженерного искусства, живописи, скульптуры появилась необходимость в дальнейшем развитии теории перспективы. Итальянский учёный Леон Баттиста Альберти (1404 – 1472) в трактатах «О живописи» и «О зодчестве» сообщает о некоторых правилах построения перспективы, в том числе о способе построения перспективы с помощью сетки. Гениальный итальянский художник Леонардо да Винчи (1452 – 1519) в своём сочинении «Трактат о перспективе» систематизировал и изложил основные законы перспективных построений. Ленардо да Винчи описал также метод проектирования высоких фигур на цилиндрический потолок, что относится к области панорамной перспективы. Вопросами линейной, панорамной и купольной перспективы занимались Микеланджело (1475 – 1561), Рафаэль (1483 – 1520), Браманте (1444 – 1514) и другие деятели эпохи Возрождения. Известный немецкий художник Альбрехт Дюрер (1471 – 1528) в сочинении «Руководство для измерения циркулем и правилом» изложил правила построения перспектив на плоскости и впервые дал рекомендации по построению перспективы с использованием ортогональных проекций, впоследствии детально разработанного французским математиком Г. Монжем (1746 – 1818).

Виднейший французский геометр и архитектор Дезарг (1593 – 1662) в книге «Общий метод изображения предметов в перспективе» разработал способ построения перспективных масштабов с помощью координат. Уровень теоретических знаний по перспективе к концу XVIII века позволил Роберту Баркеру создать в 1787 году первые панорамы: «Остров Уайт», «Битва при Абукире» и др. Спустя 36 лет во Франции была устроена первая диорама. Большой популярностью пользовались военные диорамы на Антверпенской выставке 1874 года. В силу специфики исторических условий, в которых складывалась жизнь нашей страны, отечественная начертательная геометрия прошла несколько иной путь развития, чем на Западе. Изучение фресок и мозаик древней Руси приводит к выводу, что уже в X – XII веках русские художники-иконописцы были знакомы с наблюдательной перспективой. Уже в допетровское время в России стали достаточно грамотно выполнять изображения методами центрального и параллельного проектирования. В XVIII веке русские специалисты выполняли сложнейшие чертежи по судостроению, гидротехнике и архитектуре с применением различных проекционных методов. Проекты изобретателей Кулибина и Ползунова, архитекторов Баженова, Казакова и Старова свидетельствуют о том, что в России второй половины XVIII века инженеры и архитекторы свободно владели методом аксонометрических и ортогональных проекций.

В 1810 году в только что созданном Институте корпуса инженеров путей сообщения было введено преподавание начертательной геометрии как самостоятельной дисциплины. Появление первых отечественных сочинений по начертательной геометрии связано с именем профессора Я. С. Севастьянова, окончившего Путейский институт в 1814 году. Севастьянов издал первый в России оригинальный труд, посвящённый методу ортогональных проекций, «Основание начертательной геометрии» (1821). В первой половине ХIX века преподавание начертательной геометрии было введено почти во всех высших технических учебных заведениях России и даже в средней школе. Появилось много трудов, которые продолжили полезное дело, начатое профессором Я. А. Севастьяновым. Выдающиеся русские учёные и педагоги Н. И. Макаров (1824 – 1904) и В. И. Курдюмов (1853 – 1904) помимо общих теоретических курсов издали в позапрошлого столетия ряд работ, где подробно излагалась теория аксонометрических проекций, или так называемая «параллельная перспектива». Труды Макарова и Курдюмова являются классическими с точки зрения теории и методики изложения начертательной геометрии.

Выражения «строить рисунок» или «строить перспективу» не являются случайными. С момента определения точки зрения до окончания работы художник сталкивается с геометрическими понятиями и построениями. Один из известных русских художников Н. Н. Ге говорил: «Рисовать – значит видеть пропорции…» Наиболее распространённые методы построения перспективных изображений – это метод прямоугольных координат, метод сетки,

метод следа луча, метод Построение теней и передача освещённости предметов на рисунках является одним из основных средств создания реалистического изображения. При построении теней на рисунках любых объектов всегда стремятся с той или иной степенью точности определить только основные, характерные точки и контурные линии теней, которые более всего подчёркивают форму и объёмность изображаемых предметов, а также характер их освещения. При этом руководствуются следующим основным правилом: сложные по форме объекты, а также их крупные детали заключают в простейшие геометрические тела, тени которых легко построить. Это правило является основным и при построении самого перспективного рисунка, поэтому его выполнение при построении теней не вносит каких – либо дополнительных трудностей. архитекторов.

Тени мелких деталей изображаемых предметов обычно прорисовываются «на глаз», так как полученный путём построений основной контур собственных и падающих теней позволяет это делать почти безошибочно. Кроме того, если основные тени определены правильно, то тени мелких деталей, нанесённые даже с небольшими ошибками, уже не могут существенно повлиять на общее реалистическое впечатление от рисунка. Определение контуров теней конкретных объектов, как правило, связано с применением не одного, а нескольких методов построения теней. Помимо этого используются различные приёмы, облегчающие нахождение отдельных точек. Однако общим для всех приёмов является, если можно так выразиться, «вскрытие» геометрии предмета.

Прорисовка плавных кривых контуров собственной и падающей теней тела вращения с криволинейной образующей осуществляется по отдельным точкам. Для получения таких точек более выгодным оказывается сочетание различных методов и приёмов. Именно путём сочетания различных методов и приёмов построены тени вазы при солнечных лучах, параллельных картине.

В выноске справа произведён геометрический анализ заданной поверхности. Венчающая часть горловины представляет собой прямой круговой цилиндр; горловина – усечённый конус I с вершиной Т1; затем идёт также усечённый конус II с вершиной Т2 и основанием с центром С2. Самая нижняя часть вазы является усечённым конусом III с вершиной Т3 и основанием с центром С3. Некоторую часть середины вазы представляется целесообразным заменить описанным усечённым конусом IV (вершина Т4 и центр основания С4); оставшуюся часть V – тело вращения с криволинейной образующей – оставим без изменения.

Тени любого конуса легко определяются путём нахождения падающей тени от вершины конуса на плоскость его основания; прямые, касательные к основанию, проведённые из полученной точки, будут служить контуром падающей тени на плоскость основания, а образующие конуса, проведённые из точек касания – контуром его собственной тени. Проведя обратный световой луч Т1Т1' через вершину Т1 конуса I до пересечения с горизонтальной проекцией С1Т1 луча, проходящего через центр С1 его основания получаем условную тень Т1' от вершины этого конуса на плоскость его основания. Касательные Т1'1 и Т1'2 к кривой основания определяют точки 1 и 2 основания теневых образующих 1Т1 и 2Т1 данного конуса. Для определения контура падающей на землю тени от данного конуса методом следа луча находим тени Т1 н, С1 н, Ан … от его вершины Т1, центра основания С1 и концов взаимно- перпендикулярных диаметров А… Касательные Т1 н 1 н и Т1 н 2 н к контуру падающей тени от основания конуса замыкают контур тени от всего конуса. При наличии падающей на землю тени конуса его теневые образующие могли быть определены методом обратных лучей. Для этого нужно было бы их точек 1 н и 2 н провести обратные лучи до пересечения с линией основания конуса. Однако первый способ даёт более точные результаты. Собственные и падающие тени других конусов найдены точно так же, как и для конуса I. Интересно, что конус II оказался полностью освещённым. Об этом можно судить по тому, что тень Т2' от его вершины Т2 упала внутрь основания данного конуса.

Часть V поверхности рассекаем рядом горизонтальных плоскостей типа Р. После построения падающих на землю теней от этих сечений прорисовываем кривую, касательную к контурам теней от всех частей, и получаем контур падающей тени заданного тела вращения. Из точек касания типа 5 н контура падающей тени и теней от сечений горизонтальными плоскостями проводим обратные лучи и на самих сечениях получаем точки типа 5, принадлежащие контуру собственной тени вазы. Отдельные точки падающей тени на самой вазе от её горловины определяются методом обратных лучей так, как, например, найдена точка 6 0.

Прорисовка падающей тени от цилиндрического кольца на горловину вазы выполнена по отдельным точкам, полученным с помощью условных теней на экраны. Для определения точки 7 контура падающей тени на образующей 1Т1 конуса I проводим через эту образующую и ось тела вращения плоскость Q – экран. Затем на этот экран строим тень от половины окружности контура собственной тени цилиндра. Тень от конца D одного диаметра окружности совпадает с самой точкой D, а тень Вq от точки В – конца другого диаметра – оказывается на оси цилиндра. Промежуточные точки Eq … получаются путём проведения секущих лучевых плоскостей, выражающиеся графически треугольниками Ее 0 Еq … Полученные точки соединяются плавной кривой, пересечение которой с образующей 1Т1 определяет искомую точку 7, так как тень от этой образующей на экране Q совпадает с ней самой. Таким же образом определяется точка 8 на очерковой образующей конуса и любые другие точки данного контура падающей тени, получающейся на внутренней поверхности конуса.