Омельян Елена Васильевна, учитель математики ОШ 1 г.Кировское Общеобразовательная школа I-III ступеней 1 отдела образования администрации города Кировское

Математика, как известно, наука доказательная, или дедуктивная. Однако это только одна из её сторон. Изложенная в законченной форме, математика выглядит как чисто дедуктивная, состоящая только из доказательств. Но прежде чем провести доказательство во всех деталях, мы должны догадаться об идее, лежащей в его основе, должны сопоставлять наблюдения и следовать аналогиям. Результат творческой работы математика – доказательное рассуждение, доказательство. Но доказательство открывается с помощью правдоподобного рассуждения, с помощью догадки. Два типа рассуждений – доказательное и правдоподобное – дополняют друг друга. И так как в решении любой задачи присутствует крупица открытия, то в нём должно найтись место для догадки, для правдоподобного умозаключения.

Предлагаемые логические упражнения помогут учащимся овладеть навыками рассуждений, ведущих к математическому открытию. Для их решения, кроме знаний из соответствующего раздела школьной математики, понадобится наблюдательность, умение сравнивать, проводить аналогии, обобщать выводы и обосновывать их. Пусть каждая решённая задача станет для вас собственным открытием!

Логические задачи предназначены для учащихся, которые имеют достаточный и высокий уровень знаний по следующим темам: 1. соотношение между тригонометрическими функциями одного аргумента; 2. тригонометрические тождества сложения; 3. тригонометрические функции двойного аргумента; 4. тождественные преобразования тригонометрических выражений.

Логическая задача 1 Вставьте пропущенное выражение: sin α cos α ?

Логическая задача 2 ctg 2 x sin 2 x 1 – sin x 1 + tg 2 x 1 + sin x ?

Логическая задача 3 Вставить пропущенное выражение: 3 2 -cos 2 x-sin 2 x ? 1-cos 2 x

Логическая задача 4 Вставить пропущенное выражение: tg α ctg α 1 2 ?

Логическая задача 5 Вставить пропущенное число: 1+tg 2 α 1+ctg 2 α tg 2 α ?

Логическая задача 6 Вставить пропущенное число: 1 sin x ׀ cos x ׀ ?

Логическая задача 7 Вставить пропущенное выражение: sin 2 xcos 2 x 1 sinxcosx ? Р

Логическая задача 8 Вставить пропущенное число: sin x cos x 1+sin2x 27 ?

Логическая задача 9 Вставить пропущенное выражение: 3,2 × × ,28 × 10 3 ?

? Sin (x +) cosxCos (x +) sinx Логическая задача 10 Вставить пропущенное выражение: 50+12

Логическая задача 11 Вставить пропущенное выражение: 72 cos(x+ )cosx sin(x+ )sinx ?

Решение логической задаче 1 Рассмотрим первую строку задания. Основное тригонометрическое тождество sin2α + cos2α =1 Вторая строка =625. = 25. Следовательно, корень квадратный из суммы квадратов данных выражений, т.е.: = = = == Ответ:

Решение логической задаче 2 Произведение выражений, записанных в противоположных секторах равно cos 2 x, т.е. (1+sinx)×(1-sinx)=1-sin 2 x=cos 2 x. sin 2 x×ctg 2 x= = cos² x. Значит, Ответ: соs 4 x.

Решение логической задаче 3 Из левого рисунка делаем вывод, что 2 = 3+(-sin 2 x+ (-cos 2 x)). Cследовательно, сумма данных выражений: 1+cos 2 x-sin 2 x=(1-sin 2 x)+cos 2 x=2cos 2 x. Ответ : 2cos 2 x.

Решение логической задаче 4 Рассмотрим первую строку: tg α×ctg α = 1. Выдвигаем гипотезу: произведение данных выражений. Вторая строка подтверждает выдвинутую гипотезу, так как Следовательно, Ответ:

Решение логической задаче 5 Рассмотрим вторую строку. Выдвигаем гипотезу: частное от деления данных выражений. Проверяем Первая строка подтверждает выдвинутую гипотезу, так как (1+tg2α):(1+ctg2α) = = = tg 2 α. Следовательно, Ответ: 1.

Решение логической задаче 6 Рассмотрим вторую строку. Выдвигаем гипотезу: корень квадратный из разности квадратов данных выражений, так как Проверяем выдвинутую гипотезу по первой строке: Следовательно, Ответ:

Решение логической задаче 7 Из левого рисунка делаем вывод, что произведение равно 21, если сумма равна 10. Проверяем выполнимость этого предположения по среднему рисунку: sin 2 x + cos 2 x = 1 и sin 2 x*cos² x = Если sin x + cos x = p, то sin x×cos x =, так как (sin x + cos x) 2 =p 2 ; sin 2 x + 2sinx cosx + cos 2 x = p 2 ; 1+2sinx cosx = p 2 sinx×cosx = Ответ:

Решение логической задаче 8 Рассмотрим вторую строку. Так как, то, а Значит, квадрат суммы данных выражений. Проверяем по первой строке: sin x + cos x) 2 = sin 2 x + 2sinx cosx + cos 2 x = 1 + sin2x. Следовательно, Ответ: 14

Решение логической задаче 9 Обратим внимание на первую строку задания: 3,2×10 7 и 4×10 -5 – это числа, записанные в стандартном виде. Выясним, как же получилось 1,28×10 3. Это произведение чисел 3,2×10 7 и 4× Следовательно, Ответ : tg x.

Решение логической задаче 10 Рассмотрим верхнюю строку. Выясним как же получилась : Следовательно, разность данных выражений: Ответ:

Решение логической задаче 11 Обратим внимание на верхнюю строку. ; Значит, Следовательно, сумма данных выражений Ответ: 1/2.

Желаем удачи ! Спасибо за внимание! sin α ctg 2 x