УРОК ОДНОЙ ЗАДАЧИ Решение стереометрических задач различными методами

Цели: Выработать умение рассматривать различные подходы к решению задач и проанализировать эффект от применения этих способов решения. Выработать умение учащегося выбирать метод решения задачи в соответствии со своими математическими предпочтениями, базирующимися на более прочных знаниях и уверенных навыках. Выработать умение составлять план последовательных этапов для достижения результата. Выработать умение обосновать все предпринимаемые шаги и вычисления. Повторить и закрепить различные темы и вопросы стереометрии и планиметрии, типовые стереометрические конструкции, связанные с решением задач. Развивать пространственное мышление.

Задачи: Анализ различных методов решения задачи. Сравнение преимуществ и недостатков каждого метода. Повторение свойств правильной шестиугольной призмы. Подготовка к сдаче ЕГЭ. Развитие самостоятельности при принятии решения.

Задача. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 сторона основания равна 2, боковое ребро равно 4. Точка N принадлежит АС, AN : NC = 1 : 3. Найти: 1)расстояние от точки В 1 до N; 2)расстояние от точки N до прямой C 1 E 1 ; 3)расстояние от точки N до плоскости B 1 E 1 D; 4)расстояние между прямыми B 1 N и F 1 D; 5)угол между скрещивающимися прямыми C 1 N и FE 1 ; 6)угол между прямой F 1 N и плоскостью B 1 E 1 D; 7)угол между плоскостями A 1 N B 1 и BEC 1.

1. Расстояние между двумя точками Бовиков Бамба Пыль Юлиана

Дано: AC

Метод 1

Метод 2

Метод 3

2. Расстояние от точки до прямой Четырев Василий Бульдигирова Элла

Дано: ABCDEFA B C D E F - правильная шестиугольная призма. AB = 2 AA = 4 NAC, AN:NC=1:3 Найти: расстояние от N до C E.

Решение: Через (·) N проведём прямую, перпендикулярную AD и BC. ] она пересекает их в точках H и K соответственно. Тогда ANH и CNB подобны, причём AN:NC=1:3. ] E 1 C 1 A 1 D 1 = P. ] M PC 1 и MP:PC 1 =1:3. Очевидно, что KH ǁ EC; EC ǁ E 1 C 1 => KH ǁ E 1 C 1. Также очевидно, что KH=PC 1, и NH=1/4 BH=1/4 PC 1 =PM. Итак, NH=PM и NH ǁ PM. Значит, NHPM – параллелограмм => HP ǁ NM. E 1 C 1 перпендикулярна (AA 1 D 1 ) => E 1 C 1 перпендикулярна HP, а т.к. HP ǁ NM, то E 1 C 1 и NM – перпендикулярны, т.е. NM – искомое. NM = HP =. Найдём координаты точек H и P.

] CE AD=T, тогда OT=TD AT= AD. ANH иACT подобны, причем AN:AC=1:4. Тогда AH= AT= AD= AD. HO=AO-AH= AD- AD= AD= 4=. =>H(O; - ; 0). (·)P (0; 1; 4), тогда

1)Рассмотрим CDE: CE= 2)N(- ; ;0); С(1; ;4); E(1;- ;4).

Рассмотрим NCE: NC= ;NE= ;CE= ; Приравняем правые части: a= Подставим значение «a» в => b=

3. Расстояние от точки до плоскости Манджиев Павел Педерова Анжелика

Задача В правильной шестиугольной призме сторона основания равна 2, а боковые ребра равны 4, точка N принадлежит AC, AN:NC=1:3. Найдите расстояние от точки N до плоскости В 1 Е 1 D.

Существуют два метода решения этой задачи: 1)Геометрический 2)Координатный Решить задачу геометрически проблемно, так как сложно определить куда упадет перпендикуляр из точки N на данную плоскость. Поэтому решим задачу координатным методом. А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 Е1Е1 F1F1 A B C D E F N

А1А1 B1B1 C1C1 D1D1 E1E1 F1F1 A B C D E F N O y x z

4. Расстояние между прямыми Бабаков Вадим Сангаева Гиляна Лиджиева Ольга

Задача.

Метод 1 Каноническое уравнение прямой в пространстве

Метод 1

Метод 2

Смешанное произведение трёх векторов – определитель третьего порядка, где в первой строке матрицы координаты первого вектора из произведения, во второй – второго, в третьей – третьего. Векторное произведение двух векторов – вектор, координаты которого определяются определителем третьего порядка, где в первой строке матрицы единичные векторы i, j, k, во второй – координаты первого вектора, в третьей – третьего. Метод 1

Метод 2

Этот метод крайне нерационален, потому что приходится выражать вектор PM через 2 переменные, после чего находить эти переменные.

Метод 3

5. Угол между скрещивающимися прямыми Болаева Альмина Семенов Галсан Мусова Виктория

Задача: В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 сторона основания равна 2, боковое ребро 4. Точка N принадлежит ребру AC так, что AN:NC = 1:3. Найти угол между прямыми C 1 N и FE 1.

Введём призму в декартовую систему координат с центром в точке О

ВИД СВЕРХУ:

=>=> =>=> 1) =>=> 2) 3)

Решение:

М

6. Угол между прямой и плоскостью Бюрчиев Эренцен Первенов Эдуард Сухурова Виктория

Задача.

Метод 1

Метод 2