Исрафилова Е. Н.

Всего существует три признака равенства треугольников.

Дано: Тр-к АВС и тр-к А1В1С1 АВ = А1В1 АС = А1С1 угол А = углу А1 Д-ть: тр-к АВС = тр-ку А1В1С1 Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Наложим тр-к ABC на тр-к A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершины A и A 1 совместились. Отрезок AC соединим с отрезком A 1 C 1, т.к. AC = A 1 C 1 (по условию) => C совпадёт с C 1. (1) Т.к. угол A = углу A 1 (по условию) => лучи AB и A 1 B 1 совпадут. Т.к. AB = A 1 B 1 (по условию) => B совпадёт с B 1 (2) Т.о. из (1) и (2) => BC совпадёт с B 1 C 1 Т.о тр. ABC совпадёт с тр. A 1 B 1 C 1 => тр-к ABC = тр-ку A 1 B 1 C 1

Дано: тр-к АВС и тр-к А1В1С1 АВ =А1В1 угол А = углу А1 угол В = углу В1 Д-ть: тр-к АВС = тр-ку А1В1С1 Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Наложим тр-к ABC на тр-к A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина A совпала с вершиной A 1. Вершины B и B 1 оказались бы по одну сторону от луча AB. AC = A 1 C 1 (по условию) => C совпадёт с C 1. Угол A = углу A 1 => лучи AB и A 1 B 1 совпадут. Угол С = углу С 1 => лучи CB и C 1 B 1 совпадут. B = AB пересекает CB B 1 = A 1 B 1 пересекает С 1 B 1 => тр. ABC совместится с тр. A 1 B 1 C 1.

Дано: тр-к АВС и тр-к А1В1С1 АВ = А1В1 АС = А1С1 ВС = В1С1 1-й случай: ВВ1 внутри угла ВАВ1 2-й случай: ВВ1 совпадает с одной из сторон тр-ков 3-й случай: ВВ1 вне треугольников Д-ть: тр-к АВС = тр-ку А1В1С1 Если 3 стороны одного треугольника соответственно равны 3-м сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

1 случай Если 3 стороны одного треугольника соответственно равны 3-м сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Пристроим тр-к A 1 B 1 C 1 так, что вершина A совместится с вершиной A 1, вершина C с C 1 (т.к. AC = A 1 C 1 ), а B и B 1 были по разные стороны от AC. BB1 внутри угла BAB 1 (по условию). 1)AB = A 1 B 1 => тр-к ABB 1 – р/б => угол 1= углу 2 BC = B 1 C 1 (по условию) => тр-к BCB 1 – р/б => угол 3 = углу 4 2) Рассмотрим тр-к ABC и тр-к A 1 B 1 C 1 Угол B = угол 1 + угол 1, угол B 1 = угол 2 + угол 4, угол 1 = углу 2 угол 3 = углу 4 => угол B = углу B 1 ; AB = A 1 B 1, BC = B 1 C 1 => тр-к ABC = тр-ку A 1 B 1 C 1.

BB 1 совпадает с одной из сторон тр-ков. 1)AB = A 1 B 1 (по условию) => тр-к ABB 1 – р/б => угол 1 = углу 2 2) Рассмотрим тр-к ABC и тр-к A 1 B 1 C 1 : AB = A 1 B 1 (по условию), BC = B 1 C 1, угол 1 = углу 2 => тр-к ABC = тр-ку A 1 B 1 C 1

BB1 – вне треугольников. 1)AB = A 1 B 1 (по условию) => тр-к ABB 1 - р/б => угол 1 = углу 2 BC = B 1 C 1 (по условию) => тр-к BCB 1 – р/б = > угол 3 = углу 4 2) Рассмотрим тр-к ABC и тр-к A 1 B 1 C 1 : угол B = угол 1 – угол 3; угол B1 = угол 2 – угол 4; угол 1 = углу 2, угол 3 = углу 4 => угол B = углу B 1 ; AB = A 1 B 1, BC = B 1 C 1 (по условию) => тр-к ABC = тр-ку A 1 B 1 C 1

Спасибо за внимание!