Микайылов Ф.Д. Ерол А.С. ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА В ПОЧВЕ

В работе разработаны методики определения коэффициента температуропроводности почвы, основанные на решении обратных задач уравнения теплопереноса, при учете граничных условий на поверхности, описываемых двумя гармониками. Эти методы позволяют оценивать температуропроводность в почве в естественных условиях, что должно увеличить адекватность и расширить границы использования математических моделей теплового режима почв.

ВВЕДЕНИЕ Для всестороннего знания тепловых свойств почвы необходимо иметь данные, с помощью которых можно было бы найти значения тепловых характеристик для данного состава и состояния почвы. Основными тепловыми характеристиками почвы являются коэффициенты теплопроводности, температуропроводности, и теплоемкости. Знание этих характеристик почвы может приблизить разрешение такой острой проблемы современности как прогноз теплового режима почв. При решении многих вопросов, связанных с тепловыми процессами в почве, приходится иметь дело с коэффициентом температуропроводности (к) последней. Определению коэффициента температуропроводности почвы посвящено немало теоретических и экспериментальных работ [2,7,9,15].

Для определения теплофизических характеристик почвы используются две основные группы методов: расчетные и экспериментальные. Расчетные методы определения коэффициентов температуропроводности и теплопроводности некоторые исследователи считают наиболее простыми и удобными. Чаще всего это метод анализа температурной волны [7]. В большинство случаев них рассматривается решение уравнений теплопереноса, полученных без начального условия и с учетом того факта, что Т(,t)=Т 0. Однако, при выполнении практических расчетов нет возможности в качестве исходных данных задать величины температуры почвы на бесконечности, так как они неизвестны. Поэтому обычно в таких случаях вместо Т(,t) должна задаваться температура на некоторой глубине х=L, начиная с которой при x>L величина Т(х,t)=const. В связи с этим, представляет интерес вычисление коэффициента к по формулам, которые получены на основе решения модели теплопереноса при условии на нижней границе в почве, Т(L,t)= Т 0.

Целью настоящей работы является разработка методики определения коэффициента температуропроводности (к) почвы, основанной на решении обратных задач уравнения теплопереноса с последующим сравнением существующих методов. Результаты расчетов апробированы на некоторых типах почв провинции Конья.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ВЫБОР МОДЕЛИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ПОЧВЕ Для анализа нахождения температурного поля в почвенном профиле можно не применять систему уравнений кондуктивной, радиационной и массообменной проводимости, а ограничиться лишь уравнением теплопроводности с учетом известных коэффициентов теплопереноса [5, 15]:

Возможно существенное упрощение этого уравнения, если принимать постоянным коэффициент теплоемкости, а коэффициенты тепло- и температуропроводности – в глубь почвы постоянными. В этом случае, что одномерное распространение тепла в почве описывается классическим уравнением теплопроводности, которое (при отсутствии фазовых переходов влаги в почве и переноса тепла с влагой и в предположении, что температурные градиенты связаны только с вертикальным переносом тепла, а также при отсутствии внутренних источников), имеет следующий вид [1-3, 8-12]:

и рассматривают его аналитические решения, полученные без начального и при периодическом граничном условии на поверхности, т.е.: а также при условии, что температура почвы на нижней границе (в бесконечности) постоянна, т.е.: Здесь температура почвы в точке в момент времени t ; коэффициент теплопроводности; объемная теплоемкость. плотность почвы, коэффициент температуропроводности, средне суточная (или годовая) температура деятельной поверхности почвы; амплитуда колебаний температуры деятельной поверхности почвы;

Решение задачи (1)-(3), в безразмерных переменных имеет вид [2, 14, 17-18]: гдеи Однако при выполнении практических расчетов нет возможности [3] в качестве исходных данных задать величины температуры почвы на бесконечности, так как они неизвестны. Поэтому в таких случаях вместо (3) задается условие на нижней границе в виде: которая более реально описывает процесс теплопереноса.

РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ПОЧВЕ Можно показать [11], что решение уравнения (1) при граничных условиях (2) и (6) на нижней границе также имеет вид (4), где функции и, в отличие от (5) определяются через: где гиперболический косинус и синус соответственно. и

Важным является также изучение средней температуры почвы, поскольку, как и другие почвенные характеристики, значение температуры по глубине варьирует в меньшей степени, чем значения температуры на определенной глубине. Определим среднюю в слое температуры. Для этого проинтегрируем решение (4) от нулья до единице по переменной и получим среднеинтегральное решение уравнения (1) в следующем виде:

при граничных условиях (2) и (6) определяются через: Частные случаи решений (4) и (9) с (7) и (10)-(11) приводятся в работах [8-9, 14].

РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ПОЧВЕ Если температура поверхности почвы в течение суток (года) может выражаться одной гармоникой, то коэффициент температуропроводности можно найти из величины уменьшения суточной амплитуды температуры с глубиной или по запаздыванию фазы температурной волны на разных глубинах [2, 4, 12, 15]. Такое определение допускает ощутимые погрешности из-за того, что температура почвы не всегда изменяется строго по синусоидальному закону. Введение же второй гармоники в (2) приближает ход температуры деятельной поверхности почвы к реальной картине. Используя решение (4) и (7) для m=2 можно вывести формулу для определения коэффициента температуропроводности для произвольного периода и безразмерной глубины y. Для этого необходимо знать распределение температуры в почвенном слое для восьми моментов времен на расчетном интервале времени.

Далее, используя решение (4) для : сначала для произвольной безразмерной глубины и времени следует написать следующие восемь уравнения: так как имеет место

После некоторых преобразований уравнений (13) имеем [10] (см. Приложение ниже): Учитывая обозначении (5) и (7)-(8) для функции в равенстве (14) имеем следующие выражения, которые соответствуют граничным условиям (3) и (6):

Аналогично, на основе решения (9) для можно вывести средне интегральную формулу для определения коэффициента температуропроводности K для произвольного периода T 0. Сначала решение (9) для двух гармоник, т.е. преобразуем, а далее аналогично выводу уравнений (12) и (13) получим следующую формулу:

Функции в правой части уравнений (14) и (17), т.е. и в зависимости от граничных условий определяются соответственно из (5) и (7) и (10)-(11). Существует несколько способов определения параметра по выходной кривой безразмерной температуру почв или [1, 2, 4, 9, 12, 18], выраженного по формулам (4) или (9), почвенного профиля. Более подробно описаны эти методы, например в работе Микайылова и Шеина (2010) для случая когда температура поверхности почвы выражаться одной гармоникой.

В настоящей работе предлагается определения коэффициента температуропроводности почвы, основанные на решении обратных задач уравнения теплопереноса, для случая, когда температура поверхности почвы в течение суток (года) может выражаться двумя гармониками. Для определения коэффициента температуропроводности (с использованием формулы (15) и (16)) необходимо знать: амплитуды колебаний температуры деятельной поверхности почвы; период ( длина ) суточной (годовой) волны, выраженный в сутках или в годах; значения температуры почвенного слоя на произвольной глубине для восьми моментов времени:

Имея эти данные, сначала подсчитываем разницы: для всех Далее, из формулы (15) находим значение коэффициента температуропроводности на глубине через формулы:

так как имеет место: Определения с использованием формулу (16) осуществляется методом подбора на ЭВМ значения параметра из условия совпадения значения левой и вычисленной по исходным данным правой части, т.е.:

Из соотношения находим значение коэффициента температуропроводности K на глубине который равен Используя среднеинтегральное решение (9), возможно также находить коэффициент температуропроводности, экспериментальной основой которых являются данные по температуре в почвенном слое, то есть, а также,

В этом случае подбор значения параметра осуществляется по формулам, которые соответствуют граничным условиям (3) и (6) соответственно: В отличие от ранее разработанных методов [9], здесь для определения коэффициента температуропроводности,, требуется знать заранее распределение температуры по времени в почвенном слое на произвольной безразмерной глубине и для восьми моментов времени, которое позволяет с более высокой точностью определить параметр по формуле (18)- (21).

ПАРАМЕТРЫ ТЕМПЕРАТУРЫ ПОВЕРХНОСТИ ПОЧВЫ Для определения параметров поверхности почвы в (2) приняли одну и две гармоники. Используя результаты измерений, с помощью метода наименьших квадратов определили параметры распределения температуры поверхности исследуемых почв. Предварительные результаты расчетов и сравнения их с экспериментальными данным показывают, что введение второй гармоники позволяет с более высокой точностью определить параметры распределения температуры на поверхности почвы. В дальнейшем планируется более подробное исследование применения данного метода для расчета температурного режима почв, определения теплофизических параметров и характеристик (коэффициента температуропроводности почв и его зависимости от влажности).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ На основе исследовании модели переноса тепла в почве при учете динамики граничных условий на поверхности, описываемых двумя гармониками получены - точечные и средне интегральные решения; - предложены теоретические основы методов определения коэффициента температуропроводности почвы. В дальнейшем планируется осуществить экспериментальную проверку адекватности предложенных методик и их сравнения с существующими методами.