Формулы для вычисления площадей различных треугольников.

Ответить на вопросы: 1. Перечислите элементы треугольника. 2. Назовите виды треугольников по углам. 3. Назовите виды треугольников по сторонам. 4. Какой треугольник называется равно бедренным? 5. Какой треугольник называется равносторонним?

Найдите ошибки в тексте: Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, соединенных попарно отрезками. Среди треугольников особенно выделяется равнобедренный треугольник. Если в нем провести любую биссектрису, она будет являться медианой и высотой.

1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см *1 см изображен треугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах Решение: Ответ: 6

2. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 и 8. Решение: Ответ: 20

b a

ɣ a b

3. Даны стороны a = 3, b = 4, и угол γ= 30°. Найти площадь треугольника Решение: Ответ: 3

4. Дан равносторонний треугольник со стороной a= 5 см. Найти его площадь. Решение:

Площадь равностороннего треугольника a - сторона треугольника а а

Пример расчета площади равностороннего треугольника через сторону. Задача : дан равносторонний треугольник со стороной a= 2 см. Найдите площадь Решение: Ответ:

Одна из книг Герона была названа им «Геометрика» и является своего рода сборником формул и соответствующих задач. Имя Герона навсегда связано с известной формулой нахождения площади треугольника, если даны три его стороны a,b,c: Одним из поздних греческих математиков – энциклопедистов, труды которого имели главным образом прикладной характер, был Герон Александрийский, живший в 1 в. н. э.

b с a Где

Дан треугольник со сторонами 13, 14, 15. Найдите высоту, проведённую к большей стороне. Пусть AH указанная высота треугольника ABC со сторонами BC = 15, AC = 14, AB = 13. А В С Н По формуле Герона S = = = = 84. = С другой стороны, Откуда находим, что Ответ: 11,2 Решение:

c b a

Найти площадь треугольника со сторонами

А B C O r a b с

A B C O R

В треугольнике ABC АС = 4, ВС = 3, угол C равен Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей Решение: Воспользуемся формулой радиуса окружности вписанной в треугольник: По теореме Пифагора: Найдём площадь: Таким образом: Ответ: 1 и 2,5 4 3

Задача : Вычислите площадь данного треугольника. Решение: Sпрямоугольника = 6*5 = 30, S1= ½ *5*2 = 5, S2 = ½ *4*2=4 S3=½*6*3 = 9 Тогда Sтр = Sпр - S1 - S2 - S3 = =30 – 5 – 4 – 9 = 12 Ответ:12 Если треугольник будет иметь другое расположение, то основание и высоту в таком треугольнике определить точно невозможно, а, следовательно, невозможно применить формулу для вычисления его площади. Поэтому здесь можно только применить способ вычитания прямоугольных треугольников из площади прямоугольника.. S1 S3 S2

Площадь искомого треугольника найдем по формуле Пика:, где Г –количество узлов на границе треугольника(на сторонах и вершинах), В – количество узлов внутри треугольника. Г = 12, В = 10 Получаем S=12/2+10-1=15 Ответ: 15 Формула Пика о о о оо о о о о о

В = 10, Г = 6. S = /2 – 1 = 12. Ответ: 12 Оказывается, это намного быстрее, чем в предыдущем случае! Попробуем решить задачу с помощью формулы Пика:

Георг Алекса́ндр Пик ( 10 августа июля 1942) австрийский математик. Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. Им написаны работы в области математического анализа, дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений и т. д., всего более 50 тем. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

В = 10 Г = /2 – 1 = ,5 – 1 = = 12,5 Ответ: 12,5 Применим формулу Пика для вычисления площадей других многоугольников.

Г = 8 В = 1 S = 1 + 8|2 – 1 = – 1 = 4 Ответ: 4 Формула Пика позволяет вычислить площадь даже такого многоугольника.

Г = 7 В = 5 S = 5 + 7/2 – 1 = 5 + 3,5 – 1 = = 7,5 Ответ: 7,5 Ещё один пример:

Формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге: 1. Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу: : S = В + Г/ Формула Пика очень проста для запоминания. 3. Формула Пика очень удобна и проста в применении. 4.Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы.

Найти площадь треугольника АВС если, А(0;6) B(4;-2) C( 2;18) Из построения видно, что треугольник АВС разносторонний, и ни одна из высот не параллельна оси координат. Найдем площадь треугольника по II формуле Герона.. Как мы видим здесь очень громоздкие вычисления и без калькулятора не обойтись. Тогда встает вопрос. А нет ли какой-нибудь формулы попроще, чтоб посчитать площадь треугольника в прямоугольной системе координат? И вот эта формула yx

Применим эту формулу к нашему примеру. Пусть вершины треугольника АВС имеют следующие координаты : А( х 1 ; у 1 ), В (х 2 ; у 2 ), С( х 3 ; у 3 ) XY А(0;6) B(4;-2) C( 2;18)

Задача: А(0;0), В(5:7), С(4:-2). Найти площадь треугольника. Отв.19. Решение:

Десять формул для нахождения площадей различных треугольников.

Интернет-ресурсы Сайт Вычисление площади треугольника Формула площади треугольника, онлайн сервис для расчета площади треугольника. Нахождение площади треугольника 7-ю методами, всего за несколько секунд Вы найдете площадь треугольника.