Лекция 3 а. Задача о предельных ценах и теория двойственности

2/10 Литература Канторович Л.В. Экономический расчёт наилучшего использования ресурсов. М.: Изд-во АН СССР, Канторович Л.В. Экономический расчёт наилучшего использования ресурсов. М.: Изд-во АН СССР, Задача о предельных ценах и теория двойственности © Н.М. Светлов, 2015

Исходные данные Дано Дано Для производства мебели (стулья, столы, шкафы) требуются следующие ресурсы: труд, оборотные средства, дерево, ДСП. Для производства мебели (стулья, столы, шкафы) требуются следующие ресурсы: труд, оборотные средства, дерево, ДСП. Известны расход ресурсов на производство мебели и цены её продажи Известны расход ресурсов на производство мебели и цены её продажи Найти Найти Предельные цены, по которым предприятие может согласиться покупать каждый из трёх ресурсов Предельные цены, по которым предприятие может согласиться покупать каждый из трёх ресурсов Ресурсы Расход ресурсов на: стулья, тыс.шт. столы, тыс.шт. шкафы, тыс.шт. Труд, тыс. чел.-ч. (200) 0,10,2 Оборотные средства, тыс. руб. (1800) 0,751,251,5 Дерево, м 3 (16000) 1512– ДСП, тыс. м 2 (8000) –1,510 Цена продажи, тыс.руб./шт /10 Задача о предельных ценах и теория двойственности © Н.М. Светлов, 2015

Искомые переменные p 1 – предельная цена труда, руб./чел.-ч. p 1 – предельная цена труда, руб./чел.-ч. p 2 – предельная цена оборотных средств: руб./руб. p 2 – предельная цена оборотных средств: руб./руб. p 3 – предельная цена древесины, тыс.руб./м 3 p 3 – предельная цена древесины, тыс.руб./м 3 p 4 – предельная цена ДСП, руб./м 2 p 4 – предельная цена ДСП, руб./м 2 4/10 Задача о предельных ценах и теория двойственности © Н.М. Светлов, 2015

Невозможность увеличения цены ресурса Самые большие цены, которые хозяин готов дать за ресурсы – это такие цены, при которых ни один вид производимой продукции: Самые большие цены, которые хозяин готов дать за ресурсы – это такие цены, при которых ни один вид производимой продукции: уже не даёт прибыли уже не даёт прибыли ещё не приносит убытка ещё не приносит убытка некоторые виды продукции можно не выпускать, если их производство оказывается убыточным некоторые виды продукции можно не выпускать, если их производство оказывается убыточным Эти условия обычно составляются в расчёте на единицу продукции Эти условия обычно составляются в расчёте на единицу продукции Можно и на всю – результат будет тот же самый Можно и на всю – результат будет тот же самый 5/10 Задача о предельных ценах и теория двойственности © Н.М. Светлов, 2015

Невозможность увеличения цены ресурса 0,1p 1 + 0,75p p 3 + 0p ,1p 1 + 0,75p p 3 + 0p ,2p 1 + 1,25p p 3 + 1,5p ,2p 1 + 1,25p p 3 + 1,5p ,2p 1 + 1,5p 2 + 0p p ,2p 1 + 1,5p 2 + 0p p /10 Задача о предельных ценах и теория двойственности © Н.М. Светлов, 2015

Невозможность увеличения цены ресурса 0,1 (чел.-ч./шт.стульев) p 1 (руб./чел.-ч.) + 0,75p p 3 + 0p (руб./шт.стульев) 0,1 (чел.-ч./шт.стульев) p 1 (руб./чел.-ч.) + 0,75p p 3 + 0p (руб./шт.стульев) 0,2p 1 + 1,25 (руб.ОС/шт.столов) p 2 (руб./руб.ОС) + 12p 3 + 1,5p (руб./шт.столов) 0,2p 1 + 1,25 (руб.ОС/шт.столов) p 2 (руб./руб.ОС) + 12p 3 + 1,5p (руб./шт.столов) 0,2p 1 + 1,5p 2 + 0p (м 2 ДСП/шт.шкафов) p 4 (руб./м 2 ДСП) (руб./шт.шкафов) 0,2p 1 + 1,5p 2 + 0p (м 2 ДСП/шт.шкафов) p 4 (руб./м 2 ДСП) (руб./шт.шкафов) 7/10 Задача о предельных ценах и теория двойственности © Н.М. Светлов, 2015

Ресурсы не должны стоить больше продукции Иначе производство невыгодно! Иначе производство невыгодно! 200p p p p 4 Z (тыс. руб.) Можно доказать, что это ограничение всегда выполняется как строгое равенство. Поэтому его можно заменить целевой функцией 8/10 Задача о предельных ценах и теория двойственности © Н.М. Светлов, 2015

Ресурсы не должны стоить больше продукции Иначе производство невыгодно! 200p p p p 4 Z (тыс. руб.) Можно доказать, что это ограничение всегда выполняется как строгое равенство. Поэтому его можно заменить целевой функцией 200p p p p 4 min (тыс. руб.) Теперь сравните то, что получилось, с двойственной задачей линейного программирования к задаче об оптимальном плане с теми же исходными данными Теперь сравните то, что получилось, с двойственной задачей линейного программирования к задаче об оптимальном плане с теми же исходными данными 9/10 Задача о предельных ценах и теория двойственности © Н.М. Светлов, 2015

Эффективность условия максимальной стоимости ресурсов Докажем, что условие максимальной стоимости ресурсов в составленной задаче выполняется как строгое равенство. Положим, что 200p p p p 4 < Z (тыс. руб.) Это значит, что 200p p p p 4 < 5000x x x 3, где x 1 …x 3 – оптимальный план (тыс. шт. соответствующего вида мебели), то есть (используем условия невозможности увеличения цены ресурса) 200p p p p 4 < (0,1p 1 + 0,75p p 3 )x 1 + (0,2p 1 + 1,25p p 3 + 1,5p 4 )x 2 + (0,2p 1 + 1,5p p 4 )x 3. Но последнее неравенство означает, что цены p 1 …p 4, вопреки предположению, не предельные. Например, цену p 1 можно повысить на величину, не превышающую разницу между левой и правой частями неравенства, делённую на 200, а план x 1 …x 3 всё ещё будет оставаться выгодным. Если в доказательстве заменить цифры матричными обозначениями, получим общее доказательство для любой задачи о предельных ценах. 10/10 Задача о предельных ценах и теория двойственности © Н.М. Светлов, 2015