1. Постановка задачи аппроксимации 2. Метод наименьших квадратов 3. Линейная аппроксимация Лекция 8

Постановка задачи аппроксимации Пусть задана функциональная зависимость y=f(x), полученная в эксперименте x X1X1 X2X2 X3X3 …xnxn YY1Y1 Y2Y2 Y3Y3 …ynyn Если аналитическое выражение функции f(x) неизвестно, то возникает задача: найти такую непрерывную зависимость значения которой при x=x i были близки к опытным данным y i (i=1, 2, …, n).

Постановка задачи аппроксимации Геометрически задача аппроксимации состоит в проведении кривой, как возможно ближе примыкающей к системе экспериментальных точек

Общий вид аппроксимирующего полинома задача состоит в аппроксимации неизвестной функциональной зависимости между x и y полиномом заданной степени m и определении наилучших параметров эмпирической зависимости методом наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов Пусть в результате эксперимента получена таблица значений функции y i (i=1,...,n). Задача состоит в аппроксимации неизвестной функциональной зависимости между x и y эмпирической формулой : где m – число параметров; a 0 …a m – неизвестные коэффициенты.

Требуется Определить искомые коэффициенты а j зависимости таким образом, чтобы этот полином наилучшим образом описывал экспериментальные данные, а сумма квадратов отклонений экспериментальных значений y i от соответствующих значений, вычисленных по аппроксимирующему многочлену, была минимальной. где F(a 0, a 1, …, a m ) – функция коэффициентов.

В точке минимума функции F ее частные производные обращаются в нуль.

Полиномиальная зависимость P(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x a m x m

Дифференцируя по параметрам, получаем математическое условие минимума квадратичной функции: В результате решения системы линейных уравнений получим коэффициенты а 0,а 1,...,а m искомого полинома

Линейная аппроксимация При обработке экспериментальных данных возможно построить линейный аппроксимирующий полином, т.е. описать закон изменения x линейным уравнением P 1 (x)=a 0 +a 1 x Необходимо найти коэффициенты a 0, a 1 МНК

Расчет неизвестных коэффициентов a 0 и a 1

Преобразование системы

Выражения для коэффициентов a 0 и a 1.

Коэффициенты

Определитель системы Определение коэффициентов a 0 и a 1 возможно, если определитель системы 0. Если определитель D=0, то система или не имеет единственного решения

Пример: Дана табличная зависимость теплоемкости оксида углерода от температуры Необходимо построить аппроксимирующий полином в виде y=a 0 +a 1 x., где h=100, С р =y. Для вычисления коэффициентов составим таблицу: Введем обозначения

ITiTi xixi yiyi x i y i / Таблица

y= x.

Разность между исходными данными и результатами расчета по полученному выражению определяет погрешность аппроксимации. Выполненная проверка показала, что полученное уравнение (линейное) соответствует эксперименту. Если погрешность велика, то выбирают другой вид аппроксимирующего полинома.