В широком смысле разностные уравнения – это уравнения относительно неизвестной функции, зависящей от целочисленных переменных, т.е. ее аргументы могут принимать только целые значения. Приближенное решение ОДУ : y´ = f(x,y) : y´(x) = => y´(x) => с точностью до O(h) (h 0) исходное ОДУ можно приблизить уравнением y(x+h) = y(x) + hf(x, y(x)), (4.1) где x и h – произвольные числа (диапазон изменения x связан с областью определения функции f, но всегда это есть некоторый промежуток числовой оси).

Для практического применения уравнения (4.1) фиксируют некоторое значение h и рассматривают лишь дискретные значения x i =x 0 +ih, где x 0 – начальное значение аргумента, i N 0. Тем самым на оси Ox выбирается последовательность точек, называемая сеткой. Сеткой на отрезке [a, b] называется любое конечное множество точек этого отрезка. Точки сетки обычно называют ее узлами. Например сетка : ω N : a=x 0 < x 1 < x 2 < …< x N = b (4.2) состоит из (N+1) узлов x i ω N.

Если узлы сетки делят отрезок [a, b] на неравные отрезки, то такие сетки называются неравномерными (см. сетку (4.2)). С другой стороны, множество точек отрезка [a, b] вида ω N = {x i =a+ih; i=1,2, …, N } (4.3) составляет равномерно сетку с шагом h=(b–a)/ N. Функция, определённая в точках сетки, называется сеточной функцией. Пример 4.1. Составьте равномерную сетку (4.3) и определенную на ней сеточную функцию при N=4, если функция y=x 2 определена на отрезке [0,1]. Шаг сетки h=0,25, стало быть сетка ω N = {0; 0,25; 0,5; 0,75; 1} ; сеточная функция также состоит из пяти чисел : y 0 = y(0) = 0 ; y 1 = y(0,25) = 0,0625 ; y 2 = y(0,5) = 0,25 ; y 3 = y(0,75) = 0,5625 ; y 4 = y(1) = 1.

Рассмотрим линейное разностное уравнение первого порядка в нормальной форме (далее N={1,2, …, n, …} – множество натуральных чисел, N 0 =N {0}, R – множество всех вещественных чисел) y n+1 +a n y n = f n, (4.4) где a n =a(n) – заданная функция n N 0, причем a n 0 для всех n N 0, f n =f(n) – заданная функция n N 0 и y n =y(n) – искомая функция n N 0. Ниже будем считать, что все значения функций (последовательностей) a n, f n, y n принадлежат множеству R. Если в (4.4) f n0 для всех n N 0, то оно называется однородным разностным уравнением (РУ) первого порядка и имеет вид y n+1 +a n y n = 0. (4.5) В противном случае, т.е. f n 0, уравнение (4.4) называется неоднородным РУ.

Заданная последовательность {φ n } (n N 0 ) называется решением РУ (4.4), если она обращает его тождество. График решения РУ (4.4) представляет собой последовательность точек плоскости с координатами (n, φ n ) для всех n N 0. Решение однородного РУ (4.5) методом подстановок Из (4.5) имеем : y 1 = – a 0 y 0, y 2 = – a 1 y 1 = a 0 a 1 y 1, y 3 = – a 2 y 2 = – a 0 a 1 a 2 y 0, …, y n =(–1) n a 0 a 1 … a n-1 y 0. y n =y 0 (–1) n (4.6) Положим в (4.6) y 0 =C, A n =(–1) n 0 для всех n N 0 в силу определения РУ (4.4). Тогда формула общего решения (4.6) однородного РУ примет вид y n = C·A n (const = C R, n N 0 ). (4.7)

Наконец, вернемся к РУ (4.1) и рассмотрим его относительно определенной на множестве узлов сетки (4.3) функции y : y(n+1) = y(n) + hf(x 0 +nh, y(n)) = g(n, y(n) ). (4.8) Здесь соответствующие значения сеточной функции в узлах сетки обозначаются y n =y(n), где n – номер узла равномерной сетки (4.3) (n=1,2, …, N), причем y(n) = y(x 0 +nh). Как видим, уравнение (4.8) является примером неоднородного РУ первого порядка. Приближенный метод решения ОДУ при помощи такого РУ называется методом Эйлера. Если задано начальное условие задачи Коши y(0) =y 0, то из РУ (4.8) методом подстановки определим: y(1) = y(x 0 +h), …, y(n – 1) = y(x 0 +(n – 1)h), т.е. найдем приближенно решения задачи Коши для ОДУ y´= f(x, y) в узлах сетки, что иллюстрируется на рисунке.

Пример 4.2. Пусть функция y(n) характеризует величину депозита через n лет после открытия банковского вклада на сумму y(0)=S 0 под p% годовых. Тогда по формуле сложных процентов получим : y(n+1) = (1+p/100)y(n) => y(n+1) = S 0 (1+p/100) n+1. Пример 4.3. Пусть y n – элемент арифметической прогрессии с номером n ; d – разность прогрессии. Тогда y n+1 = y n +d – разностное уравнение первого порядка, либо 2y n+1 = y n +y n+2 – разностное уравнение второго порядка, имеющие решение y n = a 1 +d(n – 1), где a 1 и d – произвольные числа. Пример 4.4. Соотношения y n+1 = q·y n или y 2 n+1 =y n y n+2 определяют геометрическую прогрессию y n =b 1 ·q n-1, где b 1 и q – произвольные действительные числа.

Для решения неоднородного РУ (4.4) : y n+ 1 +a n y n = f n применяется метод вариации произвольной постоянной. В соответствии с формулой (4.7) будем иметь y n = C n A n (n N 0 ). (4.9) C n+1 A n+1 + a n C n A n =f n => C n+1 A n+1 – C n A n+1 =f n (A n+1 +a n A n =0). C n+1 =C n +, поскольку A n+1 0 для всех n N 0 в силу определения РУ (4.4). Последовательными подстановками получаем, что C n = C 0 + (n N 0 ), y n [ C+ ] A n (n N 0, C=C 0 R ). (4.10) Формула (4.10) – общее решение РУ (4.4).

Пример 4.5. Решите уравнение y n+1 – y n =. Для заданного уравнения имеем, что : A n = (–1) n (–1) n = (n+1) 2, Отсюда по формуле (4.10) получаем общее решение заданного РУ y n = ( C + ) (n+2) 2 (n N 0 ), где C – произвольная постоянная.

Для нахождения какого-либо конкретного решения РУ (4.4) необходимо, как отмечалось в п. 4.1, задать дополнительное условие, например, начальное условие (началом отсчета аргумента n может быть не только 0, но и любое целое число n 0 >0) y 0 =y(n 0 )=u ( u R). (4.11) Задачу нахождения решения РУ (4.4), удовлетворяющего начальному условию (4.11), будем называть разностной задачей Коши для уравнения (4.4). Решение разностной задачи Коши для уравнения (4.4) существует, единственно при любом u R и задается формулой y n = [ u + ] A n. (4.12)

Пример 4.6. Найдите решение задачи Коши y(n+1) – e n y(n) = 0, y(0) = 1. Это линейное однородное РУ первого порядка, общее решение которого имеет вид (4.6) y(n) = y(0) exp( j) = y(0) exp( ) = y(0) exp [ ]. Удовлетворяя начальному условию, из последнего соотношения получим частное решение задачи y(n) = exp [ ].

Разностные уравнения используются в моделях экономической динамики с дискретным временем, а также, как мы видели выше, для приближенного решения ОДУ. Существует аналогия между теориями разностных и дифференциальных уравнений. Действительно, пусть оба типа уравнений заданы в нормальной форме : обыкновенное дифференциальное порядка k y (k) = f(x,y,y, …, y (k-1) ) ; (4.13) разностное уравнение порядка k y n+k = f(n,y n,y n+1, …, y n+k-1 ). (4.14) Произведем в (4.14) формальную замену : nx, y ny(x), y n+1y(x), …, y n+k y (k) (x). Тогда определение РУ (4.14) трансформируется в определение ОДУ (4.13) порядка k.

Аналогичным образом определяется и задача Коши – как задача определения решения уравнения (4.14), удовлетворяющего начальным условиям (u 0, u 1, …, u k-1 – заданные числа) y(n 0 ) = u 0, y(n 0 +1) = u 1, …, y(n 0 +k – 1) = u k-1. (4.15) Решение y n = y(n) разностной задачи Коши (4.14) – (4.15) при n n 0 всегда существует и единственно. Подставляя значения для y(n 0 ), y(n 0 +1), …, y(n 0 +k – 1) из (4.15) в (4.14), находим y(n 0 +k). Это, в свою очередь, позволяет вычислить y(n 0 +k+1). Продолжая этот процесс можно определить любое значение y(n) при n n 0. Заметим, однако, что если задавать начальные значения не в первых k последовательных точках, как в начальных условиях (4.15), то решение разностной задачи может либо не существовать, либо быть неединственным.

Пример 4.7. Решите разностную задачу Коши y n+2 + y n = 0, y 0 =0, y 2 =0. (4.16) Как будет установлено ниже, все решения РУ (4.16) имеют вид y n = C 1 cos + C 2 sin => y 0 =0, y 2 =0 : C 1 =0, C 2 =const. Исходная задача имеет бесконечно много решений y n = C 2 sin ( C 2 = const). Пример 4.8. Решением РУ примера 4.7 удовлетворите начальным данным задачи Коши : y 0 =0, y 2 =1. При y 0 =0, y 2 =1 получим : С 1 =0, C 1 = – 1, C 2 = const. Исходная разностная задача решений не имеет.

Разностное уравнение вида L( ) = y n+k + a 1 (n)y n+k-1 + a 2 (n)y n+k-2 + … + a k (n)y n = f(n), (4.17) где a 1 (n), a 2 (n), …, a k (n), f(n) – некоторые заданные функции целочисленного аргумента n N 0, причем a k 0 для всех n N 0, y n – искомая функция n N 0, называется линейным разностным уравнением (ЛРУ) порядка k. Различают однородные ЛРУ (4.17) (f(n)0) L( )=0 (4.18) и неоднородные ЛРУ (4.17) (f(n) 0) L( )=f(n). (4.19)

Решения соответствующих классов ОДУ и РУ (например, линейных) осуществляется схожими методами. По аналогии с ЛОДУ имеют место следующие утверждения. Общее решение неоднородного ЛРУ (4.19) есть сумма частного решения (n) этого уравнения и общего решения y 0 (n) соответствующего ему однородного ЛРУ (4.18), т.е. y(n) = y 0 (n) + (n). (4.20) Пусть y 1 (n), y 2 (n), …, y k (n) – система, состоящая из k линейно независимых решений однородного ЛРУ (4.18). Тогда его общее решение задается формулой y 0 (n) = C 1 y 1 (n) + C 2 y 2 (n) + … + C k y k (n), (4.21) где C j (j=1,2, …, k) – произвольные постоянные.

Множество решений однородного ЛРУ k-го порядка (4.18) образует k-мерное линейное пространство, а любой набор y 1 (n), y 2 (n), …, y k (n), состоящий из k линейно независимых решений (называемый фундаментальным набором) является его базисом. Признаком линейной независимости решений y 1 (n), y 2 (n), …, y k (n) однородного ЛРУ является неравенство нулю y 1 (n) y 2 (n) … y k (n) = y 1 (n+1) y 2 (n+1) … y k (n+1), (4.22) y 1 (n+k–1) y 2 (n+k–1) … y k (n+k–1) который представляет аналог определителя Вронского в теории ЛОДУ.

В случае постоянных коэффициентов a j (n) (j=1,2, …, k) в ЛРУ (4.17), методы его решения во многом аналогичны методам решения линейного ОДУ. Ограничимся далее рассмотрением случая k=2 имея ввиду, что все приведенные результаты могут быть перенесены на ЛРУ при k > 2 как и для ОДУ соответствующего порядка. Однородное ЛРУ второго порядка с постоянными коэффициентами y n+2 + py n+1 + qy n = 0 (p=const, 0q=const). (4.23) Частные решения однородного ЛРУ (4.23) будем искать в виде y n = λ n (λ=const). (4.24) Подставляя (4.24) в (4.23) и сокращая обе части полученного соотношения на λ n 0, придем к λ 2 +pλ + q = 0. (4.25)

D = – q > 0 p 2 – 4q > 0. Характеристическое уравнение (4.25) имеет два различных действительных корня, причем λ 1 0 и λ 20. В противном случае q= λ 1 λ 2 =0, что противоречит определению ЛРУ. Корням λ 1 и λ 2 соответствуют два решения ЛРУ (4.23) : y 1 (n) = λ 1 n, y 2 (n)= λ 2 n, причем их определитель Казоратти (4.22) = = λ 1 n λ 2 n (λ 2 – λ 1 ) 0. Отсюда полученные решения линейно независимы и общее решение ЛРУ (4.23) имеет вид (С 1 и С 2 – произвольные постоянные) y n = C 1 λ 1 n + C 2 λ 2 n. (4.26) Пример 4.9. Решите уравнение y n+2 +4y n+1 – 5y n = 0. Характеристическое уравнение (4.25) : λ 2 + 4λ – 5 = 0 ; λ 1 = – 5, λ 2 =1. По формуле (4.26) найдем : y n = C 1 (–5) n +C 2.

D = – q 0. Характеристическое уравнение (4.25) имеет два комплексно сопряженных корня λ 1 =α+βi, λ 2 = α – βi, где Reλ 1 = Reλ 2 = α= – p/2 ; Imλ 1 = – Imλ 2 = β =. Представим числа λ 1 и λ 2 в тригонометрической форме : λ 1 =ρ(cosφ + isinφ), λ 2 =ρ(cosφ – isinφ) ; ρ=, tgφ= β/α. Тогда комплексно сопряженные решения ЛРУ (4.23) на основании формулы Муавра имеют вид z 1 (n) = λ 1 n = ρ n (cosnφ+isinnφ), z 2 (n) = λ 2 n =ρ n (cosnφ-isinnφ). Чтобы получить действительные решения, заменим z 1 (n) и z 2 (n) их линейными комбинациями y 1 (n) = [z 1 (n)+z 2 (n)] = ρ n cosnφ ; y 2 (n) = [z 1 (n)–z 2 (n)] ρ n isinnφ.

Посчитаем определитель Казоратти (4.22) для y 1 (n) и y 2 (n) = = ρ 2n+1 [sin(n+1)φcosnφ–cos(n+1)φsinnφ]= = ρ 2n+1 sinφ 0. Следовательно y 1 (n) и y 2 (n) линейно независимы и общее решение ЛРУ (4.23) запишется в форме y n = ρ n (C 1 cosnφ+C 2 sinnφ) (C 1 = const, C 2 = const). (4.27) Пример Постройте общее решение однородного ЛРУ y n+2 – 2y n+1 + 4y n = 0. Характеристическое уравнение λ 2 – 2λ+4=0 ; λ 1 =1+ i, λ 2 =1 – i ; ρ= = 2, tgφ=, φ=π/3. Общее решение исходного уравнения найдем по формуле (4.27) y n = 2 n (C 1 cos + C 2 sin ) (C 1 = const, C 2 = const).

D = – q = 0 p 2 = 4q ; λ 1 = λ 2 = – p/2. Этим корням соответствует одно решение y 1 (n) = (–p/2) n Второе решение построим, используя теорию линейных ОДУ, т.е. y 2 (n)=n(–p/2) n (проверить, что y 2 (n) есть решение ЛРУ (4.23) !!!). Докажем, что y 1 (n) и y 2 (n) линейно зависимы : = = ( – p/2) 2n+1 0. Общее решение ЛРУ (4.23) имеет вид : y n = (– p/2) n (C 1 +C 2 n) (C 1 = const, C 2 = const). (4.28) Пример Решите уравнение y n+2 + 6y n+1 + 9y n = 0. Характеристическое уравнение : λ 2 +6λ+9 = 0 (λ+3) 2 = 0 ; λ 1 =λ 2 = – 3 y n =( – 3) n (C 1 +C 2 n) (C 1 = const, C 2 = const).

Решение неоднородных ЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью методом неопределенных коэффициентов y n+2 + py n+1 + qy n = f(n) (p = const, 0 q = const). (4.29) Общее решение y n = y(n) имеет вид (4.20) y(n) = y 0 (n) + (n), где (n) – частное решение ЛРУ (4.29), а y 0 (n) – общее решение соответствующего ему однородного ЛРУ (4.23), строящееся выше как линейная комбинация его набора фундаментальных решений y 0 (n) = C 1 y 1 (n) + C 2 y 2 (n) (C 1 = const, C 2 = const).

1. f(n) = P s (n)μ n, где P s (n) – заданный многочлен степени s с вещественными коэффициентами, а μ – заданное вещественное число. Если μ не является корнем характеристического уравнении (4.25) : λ 2 + pλ + q = 0, то (n) = Q s (n) μ n. (4.30) В формуле (4.30) Q s (n) – многочлен одинаковой с P s (n) степени s. Если же μ является корнем кратности m характеристического уравнения (4.25) (m=1,2), то (n) = n m Q s (n)μ n. (4.31)

Пример Найдите общее решение ЛРУ y n+2 – 4y n+1 +3y n = n2 n. Характеристическое уравнение : λ 2 – 4λ+3=0 ; λ 1 =1, λ 2 =3. Согласно (4.30) : n =(An+B) 2 n => [A(n+2)+B] 2 n+2 – 4[A(n+1)+B]2 n+1 +3(An+B) 2 n = n2 n ; A= – 1, B=0 ; n = – n2 n. y(n) = y 0 (n) + (n) = C 1 +C 23 n – n2 n. Пример Решите уравнение y n+2 – 4y n+1 +3y n = 4n. λ 1 =1, λ 2 =3 => в соответствии с (4.31) (n)= n(An+B) => => An 2 + 4An + 4A + Bn + 2B – 4An 2 – 8An – 4A– 4Bn – 4B + 3An 2 + 3Bn = 4n ; A = –1, B=0 ; n = – n 2. y(n) = y 0 (n) + (n) = C 1 +C 23 n – n 2.

2. f(n) = r n [P s (n)cosnα + Q t (n) sinnα]. Если число λ=r(cosα+isinα) не является корнем характеристического уравнения (4.25), то (n)=r n [T l (n)cosnα+R l (n)sinnα] (l=max(s,t) ). (4.32) Если же число λ=r(cosα+isinα) является корнем характеристического уравнения (4.25), то (n)=nr n [T l (n)cosnα+R l (n)sinnα]. (4.33) 3. f(n) = f 1 (n) + f 2 (n). Тогда (n) = 1 (n) + 2 (n), где 1 (n) – частное решение исходного ЛРУ (4.29), соответствующего правой части f 1 (n), а 2 (n) – частное решение того же уравнения с правой частью f 2 (n).

Пример Решите уравнение y n+2 +y n = sin + cos. Характеристическое уравнение : λ 2 +1=0 ; λ 1 = – i, λ 2 = i ; ρ=1, tgφ=0, φ= => y 0 (n) = C 1 cos + C 2 sin. f 1 (n) = sin 1 (n) = Acos + Bsin. После подстановки в исходное уравнение y n+2 +y n = sin, получим A= – B=. 1 (n) = cos – sin.

f 2 (n) = cos 2 (n)=n (Ccos + Dsin ). Подставляя в ЛРУ y n+2 +y n = cos, будем иметь C= –, D = 0. 2 (n) = – n cos. Общее решение исходного ЛРУ : y(n) = y 0 (n) + 1 (n) + 2 (n) = = C 1 cos + C 2 sin + cos – sin – n cos.