Ребята, с построением графиков функций мы с вами уже встречались и не раз. Мы с вами строили множества линейных функций и парабол. В общем виде любую функцию удобно записать как y=f(x), по сути, это уравнение с двумя переменными. Для каждого значения x мы получаем y, выполнив некоторую заданную операцию f, мы отображаем множество всех возможных x на множество y. В качестве функции f мы можем записывать практически любую математическую операцию. При построении графиков функций обычно мы пользуемся таблицей, в которой записываем значения х и у, например, для функции удобно использовать следующую таблицу: Отмечаем полученные точки на декартовой системе координат, и аккуратно соединяем их гладкой кривой. Но наша функция не ограничена, только этими точками, мы можем подставить совершенно любой х из заданной области определения, то есть при тех х при которых выражение имеет смысл.

На одном из прошлых уроков, мы с вами изучили новую операцию извлечения корня квадратного. Естественно возникает вопрос, а можем ли мы используя эту операцию задать какую-нибудь функцию и построить ее график? Воспользуемся общим видом функции y=f(x), y и х оставим на своем а вместо f введем операцию корня квадратного: Зная математическую операцию, мы смогли задать функцию. Давайте построим график этой функции, из определения корня квадратного - мы можем вычислять его только из неотрицательных чисел, то есть x0. Составим таблицу:

Отметим наши точки на координатной плоскости:

Нам осталось аккуратно соединить полученные точки: Ребята, обратите внимание если график нашей функции повернуть на бок, то получится левая ветка параболы, на самом деле если строчки в таблице значений поменять местами, верхнюю строчку с нижней строчкой, то у нас получаться значения как раз для параболы.

Свойства функции Используя график функции свойства описать довольно таки просто. 1. Область определения: [0;+). 2. у=0 при х=0, у>0 при х>0. 3. Чем больше х, тем больше у, а значит наша функция возрастает, то есть мы движемся как будто в горку. Функция возрастает на всей области определения. 4. Из графика хорошо, что наименьшее значение функции равно 0 при х=0. Наибольшего значения нет, функция постоянно растет. 5. Непрерывная функция. Мы не видим ни каких точек разрыва, везде проходит сплошная линия. Принято выделять еще одно свойство. Выпуклость. Принято считать, что функции выпуклы либо вверх, либо вниз. Посмотрев на наш график, заметно, что функция как бы выпячивается вверх. 6. Выпукла вверх. Те значения, которые может принимать y – называются множеством значением функции. Их удобно находить так же по графику, смотрим область изменения функции по оси ординат, или то как изменяется функция вверх-вниз. 7. Область значений: [0;+).

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции корня квадратного на отрезке а) [4;9] б) [2;11]. Решение. Мы можем решить наш пример двумя способами. В каждой букве опишем разные способы. а) Вернемся к графику функции построенному выше, и отметим требуемые точки отрезка. Хорошо видно, что при х=9 функция больше всех остальных значений значит и наибольшее значение в этой точке. При х=4 значение функции ниже всех остальных точек, а значит тут и есть наименьшее значение. б) Мы знаем, что наша функция возрастающая, а значит, каждому большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Наибольшее и наименьшее значение достигаются на концах отрезка:

Пример 2. Решить уравнение Решение. Проще всего построить два графика функции и найти их точку пересечения. На графике хорошо видна точка пересечения с координатами (9;3). А значит х=9 и есть решение нашего уравнения. Ответ: х=9. Ребята, а можем ли быть уверены, что больше решений нет у примера выше? На самом деле, одна из функций возрастает, другая убывает, в общем случае они либо не имеют общих точек, либо пересекаются только в одной.

Пример 3. Построить и прочитать график функции: Нам нужно построить три частных графика функции каждый на своем промежутке:

Опишем свойства нашей функции: 1. Область определения: (-;+). 2. y=0 при х=0 и х=12, у>0 при х(-;12), y<0 при х(12;+). 3. Функция убывает на отрезках (-;0)U(9;+). Функция возрастает на отрезке (0;9). 4. Функция непрерывна на всей области определения. 5. Наибольшего и наименьшего значения нет. 6. Область значений: (-;+).

Задачи для самостоятельного решения. 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции корня квадратного на отрезке а) [25;64] б) [3;7]. 2. Решить уравнение 3. Построить и прочитать график функции: 4. Построить и прочитать график функции