Комплексные числа «Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием». Г. Лейбниц e iπ + 1= 0

Комплексные числа 1. Историческая справка. 2. Основные понятия. 3. Геометрическое изображение комплексных чисел 4. Модуль и аргумент комплексного числа. 5. Формы записи комплексных чисел. 6. Алгоритм перехода от алгебраической формы. комплексного числа к тригонометрической и показательной. 7. Переход от алгебраической формы комплексных чисел к тригонометрической и показательной без использования алгоритма. 8. Переход от алгебраической формы комплексных чисел к тригонометрической и показательной с использованием алгоритма.

1. Историческая справка Впервые мнимые величины появились в работе Дж. Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» в 1545 году. Пользу мнимых чисел при решении кубических уравнений впервые оценил итальянский ученый Р. Бом б ели (1572). Символ i предложил российский ученый Л. Эйлер (1777, опубликовано 1794).Л. Эйлер Задача о выражении степени n из комплексного числа была в основном решена в работах английских ученых А. Муавра (1707, 1724) и Р. Котеса (1722).А. Муавра Термин «комплексное число» ввел французский ученый Л. Карно (1803). В употребление термин вошел после работ К. Гаусса (1831).К. Гаусса Полное геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе датского ученого К. Весселя (1799). Геометрическое представление комплексных чисел называют иногда «диаграммой Аргана» в честь швейцарского ученого Ж. Аргана.

Абрамах Муавр (Moivre) (1667 – 1754) Абрахам Муавр – английский математик. Муавр нашел (1707) правила возведения в n – ю степень и извлечения корня n – й степени для комплексных чисел.

Карл Фридрих Гаусс (Gauss) (1777 – 1855) Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик. Работы Гаусса оказали большое влияние на развитие теории чисел.

Леонард Эйлер (Eular) (1707 – 17830) Леонард Эйлер - математик, академик Петербургской академии наук. В его трудах многие математические формулы и символика впервые получают современный вид (ему принадлежат обозначения для e,, i )

2. Основные понятия Комплексным числом называется выражение вида z=a+bi, где a и b действительные числа, а i – мнимая единица, определяемая равенством i 2 =-1. Действительные числа: z=a+0i=a, z=Re z. Мнимые числа: z=0+bi=bi, z=Im z. Равные комплексные числа: z 1 =a+bi, z 2 =c+di, z 1 =z 2, если a=c, b=d. Противоположные комплексные числа: z=a+bi, z=-a-bi. Сопряженные комплексные числа: z=a+bi, z=a-bi.

3. Геометрическая интерпретация комплексных чисел x y 0 M(x; y) r a b Комплексные числа на плоскости изображаются в прямоугольной декартовой системе координат либо точкой М(а; в), либо радиус – вектором этой точки r =ОМ=(а; в).

4. Модуль и аргумент комплексного числа Модуль комплексного числа Аргумент комплексного числа Arg z = n, n z, arctg b/a,b/a, -π -π <

Найти модуль комплексного числа Вычислить По знакам и определить четверть, в которой заканчивается искомый угол Найти аргумент комплексного числа, используя следующие равенства: первая четверть: вторая четверть: третья четверть: четвертая четверть: Записать комплексное число в тригонометрической или показательной форме. 5. Алгоритм перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и показательной

6. Формы записи комплексных чисел Алгебраическая z =a + bi Тригонометрическая z = r (cos φ + i sin φ ) Показательная z = r e i φ, e iφ = (cos φ + i sin φ ) – формула Эйлера

7. Переход от алгебраической формы комплексных чисел к тригонометрической и показательной без использования алгоритма y x3-7 4,5 0 Φ =90 ° r=3r=7 r=4,5 Φ=180 ° z1z1 z2z2 z3z3 z 1 = 3 = 3 (cos 0 ° +i sin 0 ° ) = 3 e i0° z 2 = 4,5 = 4,5 (cos 90 ° +i sin 90 ° ) = 4,5 e i90° z 3 = -7 = 7 (cos 180 ° +i sin 180 ° ) = 7 e i180°

8. Переход от алгебраической формы комплексных чисел к тригонометрической и показательной с использованием алгоритма Z = 2 +2i, a = 2, b = 2, y x r φ a b 0