Имитационное моделирование в исследовании и разработке информационных систем Лекция 5 Элементы теории вероятностей и математической статистики в имитационном моделировании

Где применяется ТВиМС Задание исходных данных –Генерация случайных величин и случайных процессов –Аппроксимация экспериментальных выборок аналитическими распределениями Управление имитационным экспериментом Определение количества экспериментов (или времени останова) для заданной точности Обработка результатов Оценка параметров случайных величин Сравнение вариантов построения исследуемой системы Изучение зависимостей между величинами 2

Путеводитель по книге Лоу и Кельтона Глава 4 – введение П сравнение результатов модели с экспериментальными данными Глава 6 – аппроксимация выборок распределениями 7 – генераторы псевдослучайных чисел 8 – генерация различных случайных величин 9 – обработка результатов эксперимента 10 – сравнение конфигураций системы 11 – понижение дисперсии 12 – планирование экспериментов 3

Откуда случайность? Натурные эксперименты и измерения – влияние внешних факторов Имитационные модели: случайность потоков запросов случайность действий (время, результат) На выходе: последовательность результатов отдельных экспериментов; случайный процесс 4

Генераторы псевдослучайных чисел rand(); srand( unzigned int seed ); диапазон 0..RAND_MAX random(); srandom( seed ); См. также библиотеку Boost 5

Генерация случайных величин с заданным законом распределения Y – случайная величина Пусть F(x) = P( Y < x ) – функция распределения Y Берём значение r = U(0,1); (равномерное распределение в (0,1)) Тогда Y = F -1 (r) Можно распространить на дискретные случайные величины 6

Распределения входных данных модели Использование конкретных трасс Эмпирические распределения (аппроксимация на основе трасс (выборок)) Подбор параметров «аналитического» распределения См. Лоу, гл. 6, 7

Оценка параметров случайной величины 8 оценка мат. ожидания оценка дисперсии оценка дисперсии оценки мат. ожидания

Сколько нужно экспериментов для оценки мат. ожидания с заданной точностью? 9 Согласно Ц.П.Т., нормированная оценка м.о. для n выборок сходится к величине с плотностью вероятности Доверительный интервал длиной 2ε, в который μ укладывается с вероятностью γ задано γ, ε, найти n

Оценка числа выборок (2) Для нормированного распределения находим u(γ) по таблице Далее, ε= u(γ)*sqrt(σ/n) Определяем n исходя из требований к ε См. подробнее [1], с

Если число выборок невелико Если X i – нормально распределённые, то вместо таблицы нормального распределения используем таблицу t- распределения с n-1 степенями свободы [3, с. 306] 11

Проверка статистических гипотез По учебнику [1]: Имеется случайная величина X Имеется выборка n значений X i Формулируется проверяемая гипотеза H0 и её отрицание H1 Пример: H0 – мат. ожидания X равно выборочному среднему 12

Проверка гипотез (2) Задаётся уровень значимости α (близко к нулю) – вероятность ошибки первого рода (принята H1, хотя истинна H0) Выбирается функция-критерий Зависит от выборки X Определяет «степень соответствия» выборки гипотезе Функция с известным распределением

Критическая область 14 Пусть φ – критерий, ω – критическая область Условия на ω: Ошибка второго рода минимальна

Проверка гипотезы Вычисляем оценку \phi по выборке Если оценка попадает в критическую область, гипотеза отвергается. 15

Проверка гипотез (3) Критерий: (X(n)-μ)/sqrt(S 2 (n)/n) Распределение: нормальное, если n – велико (см. Лоу с. 308) Если n - мало, X – по нормальному закону, то t-распределение с (n-1) степенями свободы 16

Проверка гипотезы о распределении (критерий Пирсона, хи-квадрат) Делим область значений сл.в на интервалы (пусть их k) Nj – число значений, попавших в j-й интервал, ΣNj = n p j – доля попадающих в i-й интервал «теоретических» значений Критерий: Σ(Nj-np j ) 2 /np j 17

Определение числа экспериментов См. «Оценка числа выборок» 18

Обработка результатов Оценка параметров распределений Определение доверительного интервала Сравнение конфигураций системы с учетом доверительного интервала Определение установившегося режима системы Определение переходного периода 19

Литература Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. М.: Дрофа, 2002 год. 340 с. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, с. Аверилл М.Лоу, В. Дэвид Кельтон. Имитационное моделирование. 3-е издание. // СПб:Питер, – 847 с.

21 Спасибо за внимание!

Результаты эксперимента 100 прогонов, замеряем x 1 … раз Как это обработать? Какой вывод сделать из полученных данных?

Возможные выводы В среднем x=1.99 –ни в одном прогоне x не равнялся 1.99 –почти 100% отклонение от 1 В 99% случаях x=1 –а если при дальнейших прогонах всегда x=100? Как сделать обобщённые выводы?

Гипотеза и альтернативная гипотеза – вероятность, что x принадлежит отрезку

Уровень значимости – уровень значимости или вероятность ошибки первого рода, т.е вероятность, что гипотеза H 0, будучи верной, будет отвергнута в пользу H 1 Обычно =0.05 Ошибка второго рода: принята H1, а на самом деле верна H0

Если по-простому Статистически обосновывается, что с уровнем значимости 0.05 верна гипотеза, что с вероятностью не меньше 0.9 значение лежит на заданном отрезке

Статистический Критерий Зависит от выборки X Определяет «степень соответствия» выборки гипотезе Функция с известным распределением 27

Примеры типовых стат. гипотез (по [1]) значение МО нормального распределения при неизвестной дисперсии; равенство МО двух норм. распред. вид закона распределения случайной величины; 28

Статистический критерий m – число экспериментов, в которых – «эмпирическая вероятность»

Критическая область Если критерий m принадлежит критической области, то H 0 отвергается p = p0

Критическая область и границы отрезка Гипотеза H 0 принимается, если не менее значений Теперь известно, какими свойствами должны обладать границы отрезка

Подбор границ отрезка Упорядочить элементы выборки x по возрастанию: Выбрать любые Обычно

Примеры nm кр

Ошибка второго рода – вероятность ошибки второго рода, т.е. принять гипотезу H 0 тогда как верна

Пример n=100n=1000