Алгебра и начала анализа, 11 класс Вычисление площадей фигур с помощью интеграла Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

x y 0 a b Рассмотрим фигуру, образованную графиками двух функций y=g(x) и y=h(x). Обозначим абсциссы точек пересечения графиков a и b ( a h(x), при х [ а; b ]. Для нахождения площади полученной фигуры можно пользоваться следующим алгоритмом:

1)Найти пределы интегрирования (решить уравнение h(x)=g(x)); x 0 a b y 2) Составить подынтегральную положительную на промежутке [ a; b ] функцию f(x)= g(x)h(x); 3) Вычислить площадь фигуры по формуле:, где Разберем несколько примеров применения данного алгоритма.

x y Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x 2 – 2x+2 и y=2+6x – x 2. Решение. 1) Выполняем чертеж; 2) Найдем пределы интегрирования: x 2 –2x+2=2+6x–x 2, откуда х=0 – нижний предел интегрирования (НПИ) и х=4 – верхний предел интегрирования (ВПИ); 3) Составим подынтегральную функцию: f(x)=2+6x–x 2 – (x 2 –2x+2)=8x–2x 2 ;

2) Найдем пределы интегрирования: а) x+3= –2x+9 x=2; б) x+3= x– x=5; в) 2x+9= x x=4. Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x+3, y= x– и y= –2x+9. x y Решение. 1) Выполняем чертеж; А В С D Для ABD: x=5 – НПИ ; х=2 – ВПИ. Для BDС: x=2 – НПИ ; х=4 – ВПИ. Для дальнейшего решения необходимо разбить полученную фигуру на две части: ABD и BCD. 3) f(x)=x+3( x )= x+ ; p(x)=2x+9( x )= x+ ; Значит, S фигуры =S ABD +S BCD =21 (кв.ед.)

x y 0 Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функции y=2x 2 –8 х и двумя касательными к данному графику, проходящими через точку (2; –10). 1 1 Решение. 1) Выполняем чертеж; Найдем абсциссы точек касания, используя формулу касательной к графику функции y=f(x) в точке х 0 : y=f ' (x 0 )(xx 0 )+f(x 0 ). y'=4x8, 10=(4x 0 8)(2x 0 )+2x 0 8x 0,откуда х 0 =1 или 3. Построим касательные. 3 Для дальнейшего рационального решения достаточно вывести уравнение только одной касательной, например, АВ: y=4(х 1)6, т.е. y=4 х 2. Тогда, при пределах интегрирования х=1 и х=2, площадь половины фигуры равна: А В С Значит, площадь всей фигуры равна:

С помощью данного алгоритма можно также находить площадь любой криволинейной трапеции. Её левая ( х=а ) и правая ( х=b ) вертикальные границы являются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. А подынтегральной функцией является данная функция y=f(x) (в случае f(x)>0, при х [ a; b ]) или y=f(x) (в случае f(x)<0, при х [ a; b ]). y=f(x)y=f(x) x y x y 0 0 y=f(x)y=f(x) a b ab