Алфавит Х из р символов и правила записи (изображения) и обработки чисел с помощью символов этого алфавита называются системой счисления (нумерацией) с основанием р. Число х в системе с основанием р обозначается как (х)р или хр. Любая система счисления – это система кодирования числовых величин (количеств), позволяющая выполнять операции кодирования и декодирования, то есть по любой количественной величине однозначно находить его кодовое представление и по любой кодовой записи – восстанавливать соответствующую ей числовую величину.

Все системы счисления строятся по общему принципу: определяется величина р – основание системы, а любое число х записывается в виде комбинации степеней веса р от 0-й до n-й степени следующим образом: (x)10 = xnpn + xn–1pn– x1p1 + x0p0.

Наиболее используемые в информатике системы счисления, кроме, естественно, десятичной, – это: 1) двоичная, над алфавитом Х = {0,1} ; 2) восьмеричная, над Х = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ; 3) шестнадцатеричная, над Х = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F}, где символы А, В, С, D, Е, F имеют, соответственно, десятичные веса 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Позиционная и непозиционная системы

В большинстве систем счисления вес цифры (или символа алфавита) зависит от ее места в записи числа или слова. Такая система счисления называется позиционной ; в противном случае система называется непозиционной. Пример. Непозиционная система – древняя римская система записи чисел с алфавитом вида Х={I (1), V (5), Х (10), L (50), С (100), D (500), М (1000)}, где в скобках указаны веса символов (не зависящие от позиции символа).

Процедура перевода десятичных чисел в р-ную систему счисления:

1. перевести отдельно целую часть числа х, для чего последовательно делить сперва целую часть [х]10, а затем все частные (получаемые при делении) на р до тех пор, пока не получим в очередном частном число меньшее р ; изображение [х]p получается последовательным приписыванием к последнему частному остатков от деления – от последнего до первого; 2. перевести отдельно дробную часть (мантиссу) числа, то есть {x}10, для чего последовательно умножать сперва исходную мантиссу, а затем мантиссы получаемых чисел на р до тех пор, пока не получим мантиссу, равную нулю, или нужное количество цифр в {х}p ; изображение {х}p получается приписыванием к целой части первого произведения второй такой же цифры и т.д., до последней цифры целой части; 3. результат будет иметь вид (х)р = [х]p, {х}p.

Основные системы

Обратный код

Обратным кодом числа в системе с основанием р называется число в этой системе, получаемое заменой цифры, символа в каждом разряде числа на его дополнение до максимальной цифры в системе (то есть до р – 1 ). Дополнительный код = обратный код + единица в младшем разряде. Пример двоичное число, обратный код этого двоичного числа, дополнительный код этого двоичного числа;

Вычитание с помощью дополнительного кода: найти дополнительный код вычитаемого такой же разрядности, как и уменьшаемое, и сложить этот код с уменьшаемым. Результатом вычитания будет полученная сумма без учета старшего разряда (отбрасывается).

Целые числа в математике и их аналоги в n-разрядных арифметиках тождественны (по количеству) в рамках их представления с этой разрядностью. При этом можно отметить основные отличия представления чисел в поле памяти человека и в поле памяти n-разрядной арифметики: бесконечное и счетное множество целых чисел представляется отрезком [–N; +N], где N – максимальное число, представимое в этой арифметике (многоточие – общее число единиц, равное n ): N = ( )2 ; бесконечное и несчетное множество действительных чисел \left(-\infty;+\infty\right), располагающееся на числовой оси равномерно и плотно, представляется в n-разрядной арифметике множеством с неравномерной плотностью (сгущение у нуля и сжатость со стороны меньших чисел); нуль во множестве действительных чисел в любой своей окрестности имеет множество чисел, а нуль в n-разрядной арифметике представлен изолированно.

Нужно всегда иметь в виду, что точность в теоретической математике – понятие абстрактное, и в практической математике может возникать иллюзия точности там, где ее на самом деле нет, – если нет корректной договоренности о пределах возможных значений неизбежных погрешностей в рамках рассматриваемых вычислительных ресурсов, например, трудоемкости и времени, а также не оговорена стратегия управления этой погрешностью.

Интересные факты

История развития систем счисления достаточно интересна. Приведем лишь некоторые факты. Счет вначале велся с помощью пальцев рук (пятерками и затем – десятками). В некоторых странах сохранился счет с основанием 12 (например, Великобритания – 12 шиллингов) и 20 (например, Франция – "quatre– vingts" или "четыре-двадцать" то есть 80; у древних адыгов счет велся аналогично: "тощIищ", то есть "двадцать-три" – 60) и др.