РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ХИЛЛА А. Суханов

Модель движения Хилла Уравнения движения: Коллинеарные точки либрации L1 L1 и L2:L2: r L = {x L, 0, 0}, = км для с.-з. системы Матрица изохронных производных Ф:Ф:

Краевая задача: (Задача Ламберта) Найти орбиту перелета между двумя заданными положениями в пространстве за заданное время

Опорные орбиты

r 0 r 1 Искомая орбита Опорная орбита r 1 T ref T ref + T r 0ref r 1ref r 0 v0v0 T r 0ref r 1ref r (0) Опорная орбита Предлагаемый метод Шаг: задаются r 0, r 1, T Коррекция методом Ньютона

Перелет данного типа между заданными положениями невозможен Перелет данного типа за заданное время невозможен Орбита перелета данного типа между заданными положениями за заданное время существует, однако предложенная процедура не обеспечивает сходимость к этой орбите r 0 r 1 Орбита перелета Опорная орбита r 0ref r 1ref r 0 r 1 Орбита перелета Опорная орбита r 0ref r 1ref Промежуточная орбита Предложенный метод не приводит к искомому решению, если:

r 0 = { 1400, 800, 300} r 1 = {1800, –500, –200} T = 300 дней r 0 = {–1400, –800, 0} r 1 = {1800, –500, 0} T = 260 дней Промежуточная орбита: Тип: Примеры: Перелет между двумя заданными положениями за заданное время

Примеры: Построение периодической орбиты Найти плоскую орбиту вокруг Земли с периодом 5-6 месяцев, проходящую через точку {–200, 1200, 0} Опорная орбита: 1.r 0 = { 200, 1200, 0} r 1 = {200, 1200, 0} T = 300 дней 2.T = 330 дней 3.r 0 = r 1 = { 200, 1200, 0} v 0 = v 1 P = дней 4.r 0 = r 1 = { 200, 1200, 200} v 0 v 1 P 340 дней, T = 330 дней

Примеры: Построение гало-орбиты r 0 = r 1 = {x L1 200, 0, 0} = = { , 0, 0} v 0 = v 1 P 180 дней Опорная орбита: P = дней Пространственная гало-орбита: r 0 = { , 0, 100} r 1 = { , 0, 100} T ref = 2P, T = 358 дней 180-суточный фрагмент орбиты

Примеры: Перелет Земля – гало-орбита r 0 = {7, 0, 0} r 1 = {–1350, 800, 0} T = 235 дней Опорная орбита: Затем: r 1 = {–1220, 0, 0} T = 280 дней И т.д.

Примеры: Перелет между гало-орбитами вокруг L 1 Гало-орбиту зададим вектором состояния x 0 = {x L – x 0, 0, z 0, 0, –v 0 cos 0, v 0 sin 0 } Первая гало-орбита: Вторая гало-орбита: Опорная орбита: x L = –1500, x 0 = –100, z 0 = –100 v 0 = м/с, 0 = 40 (1) x L = –1500, x 0 = –250, z 0 = 100 v 0 = м/с, 0 = 30 (2) r 0 через 80 дней после x 0 (1) r 1 через 170 дней после x 0 (2) T = 70 дней 70-суточный фрагмент орбиты

Примеры: Перелет между гало-орбитами вокруг L 1 и L 2 Гало-орбиту зададим вектором состояния x 0 = {x L – x 0, 0, z 0, 0, v 0 cos 0, v 0 sin 0 } Первая гало-орбита: x L = –1500, x 0 = –100, z 0 = –100 v 0 = м/с, 0 = 140 Вторая гало-орбита: x L = 1500, x 0 = 250, z 0 = 100 v 0 = м/с, 0 = 30 Орбита перелета: r 0 через 80 дней после x 0 (1) r 1 через 100 дней после x 0 (2) T = 220 дней (1) (2)

Примеры: Построение семейства орбит перелета Нахождение орбит перелета между положениями r0 r0 и r1 r1 за время T [T 0, T 1 ] с шагом T. T 0 = 180 дней T 1 = 230 дней T = 5 дней Каждая из орбит служит начальным приближением для следующей орбиты

Заключение Опорные орбиты соответствуют перелетам между Землей и точками либрации, однако позволяют находить перелеты между любыми точками и решать другие задачи Метод может использоваться и в других системах небесных тел с другими моделями движения Вместо уравнений Хилла могут использоваться точные уравнения задачи трех тел, однако упрощенная модель позволяет находить орбиты без привязки к конкретным датам Предложенный метод может использоваться как для расчета траекторий полета КА, так и для численного анализа орбит в задаче трех тел

Недостатки: В ряде случаев низкое быстродействие Необходимость промежуточной орбиты в некоторых случаях Необходимость предварительной подготовки набора опорных орбит Невозможность использования гравитационных маневров у Луны в данной версии метода Достоинства: Простота Отсутствие необходимости в начальных приближениях Получение орбиты заданного типа