Ребята, мы с вами изучили уже арксинуса, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Теперь давайте посмотрим на тригонометрические уравнения в общем. Тригонометрические уравнения – уравнения в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции. 1)Если |а| 1, то уравнение cos(x) = a имеет решение: x= ± arccos(a) + 2πk 2) Если |а| 1, то уравнение sin(x) = a имеет решение: 3) Если |а| > 1, то уравнение sin(x) = a и cos(x) = a не имеют решений 4) Уравнение tg(x)=a имеет решение: x=arctg(a)+ πk 5) Уравнение ctg(x)=a имеет решение: x=arcctg(a)+ πk Повторим вид решения простейших тригонометрических уравнений: Для всех формул k- целое число

Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид: Т(kx+m)=a, T- какая либо тригонометрическая функция. Пример. Решить уравнения: а) sin(3x)= 3/2 Решение: а) Обозначим 3x=t, тогда наше уравнение перепишем в виде: sin(t)=1/2. Решение этого уравнения будет: t=((-1)^n)arcsin(3 /2)+ πn. Из таблицы значений получаем: t=((-1)^n)×π/3+ πn. Вернемся к нашей переменной: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn, тогда x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3 Ответ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, где n-целое число. (-1)^n – минус один в степени n.

Пример. Решить уравнения: а) cos(x/5)=1 б)tg(3x- π/3)= 3 Решение: а) В этот раз перейдем непосредственно к вычислению корней уравнения сразу: x/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогда x/5= πk => x=5πk Ответ: x=5πk, где k – целое число. б) Запишем в виде: 3x- π/3=arctg(3)+ πk. Мы знаем что: arctg(3)= π/3 3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3 Ответ: x=2π/9 + πk/3, где k – целое число.

Пример. Решить уравнения: cos(4x)= 2/2. И найти все корни на отрезке [0; π]. Решение: Решим в общем виде наше уравнение: 4x= ± arccos(2/2) + 2πk 4x= ± π/4 + 2πk; x= ± π/16+ πk/2; Теперь давайте посмотрим какие корни попадают на наш отрезок. При k<0 решение тоже меньше нуля, мы не попадаем в наш отрезок. При k=0, x= π/16, мы попали в заданный отрезок [0; π]. При к=1, x= π/16+ π/2=9π/16, опять попали. При k=2, x= π/16+ π=17π/16, а тут вот уже не попали, а значит при больших k тоже заведомо не будем попадать. Ответ: x= π/16, x= 9π/16

Мы рассмотрели простейшие тригонометрические уравнения, но существую и более сложные. Для их решения применяют метод ввода новой переменной и метод разложения на множители. Давайте рассмотрим примеры. Пример Решить уравнение: Решение: Для решения нашего уравнения воспользуемся методом ввода новой переменной, обозначим: t=tg(x). В результате замены получим: Найдем корни квадратного уравнения: t=-1 и t=1/3 Тогда tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получили простейшее тригонометрическое уравнение, найдем его корни. x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk. Ответ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Решить уравнение: Решение: Воспользуемся тождеством: Наше уравнение примет вид: введем замену t=cos(x): Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=-1/2 Тогда cos(x)=2 и cos(x)=-1/2. Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то cos(x)=2 не имеет корней. Для cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk Ответ: x= ±2π/3 + 2πk

Определение: Уравнение вида a sin(x)+b cos(x) называются однородными тригонометрическими уравнениями первой степени. Уравнения вида однородными тригонометрическими уравнениями второй степени Для решения однородного тригонометрического уравнения первой степени разделим его на cos(x): Делить на косинус нельзя если он равен нулю, давайте убедимся что это не так: Пусть cos(x)=0, тогда asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синус и косинус одновременно не равны нулю, получили противоречие, поэтому можно смело делить на ноль.

Решить уравнение: Решение: Вынесем общий множитель: Тогда нам надо решить два уравнения: cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0 cos(x)=0 при x= π/2 + πk; Рассмотрим уравнение cos(x)+sin(x)=0 Разделим наше уравнение на cos(x): 1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk Ответ: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk

Как решать однородные тригонометрические уравнения второй степени? Ребята, придерживайтесь этих правил всегда! 1)Посмотреть чему равен коэффициент а, если а=0 то тогда наше уравнение примет виды cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), пример решения которого на предыдущем слайде 2)Если a0, то нужно поделить обе части уравнения на косинус в квадрате, получим: Делаем замену переменной t=tg(x) получаем уравнение:

Решить уравнение: Решение: Разделим обе части уравнения на косинус квадрат: Делаем замену переменной t=tg(x): Найдем корни квадратного уравнения: t=-3 и t=1 Тогда: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk tg(x)=1 => x= π/4+ πk Ответ: x=-arctg(3) + πk и x= π/4+ πk

Решить уравнение: Решение: Преобразуем наше выражение: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk Ответ: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk Решать такие уравнение мы умеем:

Решить уравнение: Решение: Преобразуем наше выражение: Ответ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 и x=arctg(1/2)/2+ πk/2 Введем замену tg(2x)=t Решением нашего квадратного уравнения будут корни: t=-2 и t=1/2 Тогда получаем: tg(2x)=-2 и tg(2x)=1/2 2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2 2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

1)Решить уравнение а) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= 3/2 в) cos(-x) = -1 г) tg(4x) = 3 д) ctg(0.5x) = ) Решить уравнения: sin(3x)= 3/2. И найти все корни на отрезке [π/2; π ]. 3) Решить уравнение: 4) Решить уравнение: 5) Решить уравнение: 6)Решить уравнение: