Теорема гипотез

Пример. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

Пример. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.

Схема независимых испытаний - частная теорема о повторении опытов При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие, причем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений события в результате серии опытов.

Несколько опытов называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из опытов не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Например, несколько последовательных бросаний монеты представляют собой независимые опыты. Несколько последовательных вынимании карты из колоды представляют собой независимые опыты при условии, что вынутая карта каждый раз возвращается в колоду и карты перемешиваются; в противном случае это – зависимые опыты.

Независимые опыты могут производиться в одинаковых или различных условиях. В первом случае вероятность события А от опыта к опыту меняется. К первому случаю относится частная теорема, а ко второму – общая теорема о повторении опытов.

Во многих практических случаях при многократных независимых испытаниях могут быть только два исхода: случайное событие А произойдет или не произойдет. Пусть вероятность того, что в каждом из этих независимых испытаний произойдет событие А, равна р. Тогда вероятность противоположного события (А не происходит ) равна q.

Сочетанием из п элементов но к, где 0<k<n, называется подмножество из k элементов, выбранных из множества, состоящего из n элементов. Различные сочетания отличаются друг от друга только выбранными элементами. Их взаимное расположение не имеет значения. Основное множество из n = 7 элементов (а) и некоторые его сочетания по k=4 элемента (б).

Пример. В соревнованиях участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов финальных пар? Пример. Сколько существует вариантов разбиения студенческой группы из 25 человек на две подгруппы, в каждой из которых от 10 до 15 человек?

Определить вероятность одновременного выхода из строя двух генераторов из четырех, одной ВЛ и одного трансформатора Т2

Определить вероятность одновременной работы двух электроприемников мощностью 20 к Вт и трех электроприемников мощностью 10 к Вт

Общая теорема о повторении опытов Частная теорема о повторении опытов касается того случая, когда вероятность события во всех опытах одна и та же. На практике часто приходится встречаться с более сложным случаем, когда опыты производятся в неодинаковых условиях, и вероятность события от опыта к опыту меняется. Например, если производится ряд выстрелов в переменных условиях (скажем, при изменяющейся дальности), то вероятность попадания от выстрела к выстрелу может заметно меняться.

В этих случаях вероятности комбинаций приходится расписывать подробно. Так, вероятность появления одного любого из трех событий приходится вычислять по формуле: При большом количестве n событий число комбинаций и, следовательно, число слагаемых существенно возрастает.

Для n=3 производящая функция равняется При увеличении n количество сомножителей увеличивается. Результатом вычисления произведения является многочлен вида = a 0 Z 0 + a 1 Z+ a 2 Z 2 + a 3 Z 3 + … + a n Z n где а 0, а 1, … а n – коэффициенты при Z, представляющие числа из комбинаций q i и p i. Каждый коэффициент численно равен вероятности появления такого количества событий, число которого равняется показателю степени Z.

Пример 2. Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятности безотказной работы элементов (за время t) соответственно равны: p1=0,7; р 2 = 0,8; р 3 = 0,9. Найти вероятности того, что за время t будут работать безотказно: а) все элементы; б) два элемента; в) один элемент; г) ни один из элементов