Презентация по высшей математике на тему: «Пределы»

Определение предела Ч Число A называется пределом фонкции f(x) при х, стремящемся к х 0 (или в точке х 0) если для любого ε>0 существует такое δ>0, что для всех х, удовлетворяющих условиям |х- х 0|< δ, х 0, имеет место неравенство |f(x) - A|< ε. Если А есть предел фонкции f(x) при х cтремящемcя к х 0, то пишут или f(x)=А при xх 0.

Определение предела по Гейне Постоянное число А называется пределом фонкции f(x) при х стремящемся к а, если для всякой последовательности х n из области определения стремящейся к а соответствующие им последовательности f(x n ) имеют один и тот же предел А.

Определение предела по Коши Постоянное число А называется пределом фонкции f(x) при х стремящемся к а,если задав произвольное положительное сколь угодно малое число ε(эпсилон) можно найти такое положительное δ(сигма) зависящее от ε,что для всех х лежащих в сигма окрестности числа а и удовлетворяющих неравенству х-|a|<δ значения фонкции будут лежать в ε-окрестности числа а.

Основные теоремы о пределах фонкций Существуют три основные теоремы о пределах фонкции: I. О представлении фонкции в виде суммы своего предела и бесконечно малой фонкции. II. О пределах суммы,произведения и частного. III. О пределе промежуточной фонкции.

Теорема I Lim f(x)=А тогда и только тогда, когда f(x)=А+α(х),где α(х) – бесконечно малая фонкция при x a.

Теорема II Если фонкции f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки a, возможно, за исключением самой точки a, и существуют пределы и т то существуют пределы их суммы произведения и, если g g g g(x)0, то и частного и имеют место равенства

Теорема III Если =А, =А и в некоторой окрестности точки a(быть может,кроме точки a) имеют место неравенства f(x) φ(x) g(x), то при x a. при x a.

Свойства пределов Пусть фонкции f(x) и g(x) имеют в т.x0 пределы А и В

Раскрытие неопределённостей в пределах Неопределённости вида | - |,|0* |, |1 | раскрываются путём сведения их к неопределённостям |0/0| или |/|. Они раскрываются путём: 1. Р азложения на множители и сокращение. 2. Д еления на высшую степень х. 3. С ведения к замечательным пределам.

Замечательные пределы Существуют несколько замечательных пределов:

Предел фонкции в точке Постоянное число а является пределом последовательности х n если для любого сколь угодно малого положения числа ε существует номер(N) что все значения х n у которого n >N удовлетворяет неравенству | x n | < ε.

Бесконечно малые фонкции Функция f(x) называется бесконечно малой при х х 0,если примерами бесконечно малых фонкций служат фонкции х 2, х 3,при х 0,sin(x) при хkπ (в частности х 0), cos(x) при х kπ+ π/2 (k-любое целое число).Обычно бесконечно малые фонкции обозначаются малыми греческими буквами α(х),β(х) и т.д. Бесконечно малая фонкция α(х) при х х 0 называется бесконечно малой более высокого порядка,чем бесконечно малая β(х) при х х 0,если Например фонкция α(х)=х 5 является бесконечно малой более высокого порядка чем β(х)=х 3,при х 0 т.к. Две бесконечно малые фонкции α(х) и β(х) называются одного порядка малости при х х 0,если и эквивалентными α(х) ~ β(х) при х х 0,если где с 0-постоянное число и х 0 -число или один из символов Например sinx(x)~x при х 0,так как

Бесконечно большие фонкции Функция f(x) называется бесконечно большой при х 0, если для любого M>0 найдётся такое δ>0, что при х 0 имеет место При этом пишут Записи и Записи и означают соответственно, что f(x)>M и f(x) M и f(x)<-M при Аналогично определяется бесконечно большая фон- Аналогично определяется бесконечно большая фон- кция при xx 0 +0, xx 0 -0,x +, x - и употребляются соответствующие записи и т.д. Заметим, что если фонкция α(х) является бесконечно малой(бесконечно большой) при х 0,то 1/ α(х) –бесконечно большая(бесконечно малая) при х 0.

Вычисление пределов Далее мы рассмотрим некоторые приёмы вычисления пределов на конкретных при- мерах: 1) П редел многочлена; 2) П редел отношения двух многочленов; 3) П ределы некоторых иррациональных фонкций; 4) П рименение замечательных пределов.

Предел многочлена Используя теорему 2 получаем: Таким образом, для вычисления предела многочлена f(x) при xx 0 достаточно вместо переменной x подставить значение x 0, к которому она стремиться, и выполнить соответствующие действия,т.е.

Предел отношения двух многочленов где х 0 – число. а)Если g(x0)0,то можно применить теорему о пределе частного. Пусть требуется вычислить Здесь f(x)=x3-2x-3 и g(x)=x2+3x+3.Т.к. g(3)=32+3*3+3=210, то имеем : б)Если g(x0)=0,то теорему о пределе частного применить нельзя. Тогда если f(x0)=A0, то Если же f(x0)=0-имеем неопределённость вида 0/0. В этом случае предел можно вычислить разложением многочленов f(x) и g(x) на множители или заменой y=x-x0.

Пределы некоторых иррациональных фонкций Для вычисления где f(x)0 и воспользуемся равенством которое принимается нами без доказательства. Например:

Применение замечательных пределов Используя замечательный предел Используя замечательный предел решим следующий пример: Заменяя 3x=y и учитывая, что y 0 при x 0,получаем:

Применение замечательных пределов Используя замечательный предел решим следующий пример: Заменяя 2x/3=y и учитывая, что y при x,можем писать