КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

N C Z C Q C R C C N- natural R- real C - complex Z – исключительная роль нуля zero Q – quotient отношение ( т.к. рациональные числа – m/n). C R Q Z N

Элемент, квадрат которого равен -1 называется мнимой единицей. Обозначается i (переводится «мнимый», «воображаемый») "Комплексными числами и функциями комплексного переменного математики пользовались в своих исследованиях уже в XVIII в. Особенно велики заслуги крупнейшего математика XVIII в. Леонарда Эйлера ( ), который по праву считается одним из творцов теории функций комплексного переменного. В замечательных работах Эйлера детально изучены элементарные функции комплексного переменного. После Эйлера открытые им результаты и методы развивались, совершенствовались и систематизировались, и в первой половине XIX в. теория функций комплексного переменного оформилась как важнейшая отрасль математического анализа. Первое изложение теории комплексных чисел на русском языке принадлежит Л. Эйлеру («Алгебра», Петербург, 1763, позднее книга была переведена на иностранные языки и многократно переиздавалась): символ «i» также введен Л. Эйлером. Геометрическая интерпретация комплексных чисел относится к концу XVIII в. (датчанин Каспар Вессель, 1799 г.)."

Понятие комплексного числа х+а=b - недостаточно положительных чисел a·x + b=0 (a0) – разрешимы на множестве рац.чисел x²=2 или x³=5 - корни - иррациональные числа x²=- 1 не разрешимо на множестве действ. чисел Х+5=2 3x+5=0

Иррациональные числа Рациональные числа Действительные числа

Решение квадратных уравнений ах²+ bx+ c =0 При D<0 действительных корней нет Иррациональные числа Рациональные числа Действительные числа +

Вид комплексного числа х² = -1 х = х= i -корень уравнения i- число, такое, что i² = -1 i – мнимая единица Элемент i называется мнимой единицей. («imaginary» - переводится «мнимый», «воображаемый»)

д)е) ж)з)

Сумма a+bi (a и b действительные числа) 1)а = 0, то a+bi =0+bi= bi (мнимое) 2)b = 0, то a+bi =а+0= а (действительное) 3)а и b не равны нулю, то a+bi ни действительное, ни мнимое. Оно более сложное составное число. Определение комплексного числа

КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО z = a + bi а действительная часть числа bi мнимая часть числа Например: i, 2i, 3i – чисто мнимые числа. 3; -1,5; 82 – действительные числа 3+12i ; 0,8 – 36i – комплексные числа Состав комплексного числа

Равенство комплексных чисел Например: 1+ 2i = 1+2i Найдите х, если -3+i = -3+xi 5,8 – 9i = x – 9i

Сопряженные числа и

Арифметические операции над КЧ 1) 2)2) 3)3) 4)4) 5)5) 6)6)

Арифметические операции над КЧ

Комплексные числа и координатная плоскость

z=4+2i 2z = 8+4i z=-3+2i -2z = 6-4i Комплексные числа и координатная плоскость

Модуль комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа

Если z 1 = z 2, то получим z²=[r (cos φ+ i sin φ)]²= r² (cos2 φ+ i sin 2φ) z³= z²·z=[r (cos φ+ i sin φ)]²·r (cos φ+ i sin φ)= = r³ (cos3 φ+ i sin 3φ) Формула Муавра Для любого z = r (cos φ+ i sin φ)0 и любого натурального числа n

Корень из комплексного числа

Пример: Решить уравнение: