Ребята, вы хорошо знаете, что такое натуральные числа. Это числа которые мы используем при счете: 1,2,3,… Обозначают множество натуральных чисел символом:. Множество натуральных чисел бесконечно, причем для любого натурального числа, всегда найдется число больше данного. Если к натуральным числам прибавить 0, и все отрицательные числа -1,- 2,-3… то получается множество действительных чисел, которое принято обозначать Ввод отрицательных чисел был необходим для того чтобы из меньших чисел можно было вычитать большие. Сумма, разность, произведение – снова дают целые числа.

Если к множеству целых чисел, добавить множество всех обыкновенных дробей Первое упоминание о дробях появилось еще в древнем Египте, при вычислении длин, веса и площадей люди столкнулись с тем, что не всегда получается целое значение. Да и вообще дроби в узком смысле встречаются практически везде, когда мы делим пирог на несколько частей, с математической точки зрения мы получаем дроби. Множество дробей принято называть множеством рациональных чисел и обозначать. Любое рациональное число может быть представлено в виде: То есть любое целое число, разделив на натуральное число, мы получим рациональное число. Деление на натуральное число в такой записи удобно, в том смысле, что мы исключили операцию деления на ноль. Рациональных чисел бесконечно много, но зато все эти числа можно перенумеровать. Рассмотрев множества выше, мы видим, что каждое последующее содержит в себе предыдущие:

Давайте рассмотрим три рациональных числа: Каждое из этих чисел мы можем представить в виде бесконечной десятичной дроби: 5= …, 0.385= …., разделив столбиком 2 на 3 так же получим бесконечную десятичную дробь: Таким образом любое рациональное число мы можем представить в виде бесконечной дроби. Для теоретической математики это имеет большое значение, а вот для практики и нам с вами при решении задач большого смысла нет представлять обычную пятерку в виде бесконечной десятичной дроби. Если в десятичной записи числа повторяются одни и те же числа, то это называется периодом, в нашем случае для числа периодом будет число 6. Обычно период числа принято обозначать в скобках. Сама дробь в таком случае называется бесконечной десятичной периодической дробью. Любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Обратная операция так же верна.

Пример. Представить в виде обыкновенной дроби: а) 2,(24) б) 1,(147) Решение. а) Пусть x=2,(24). Помножим наше число, так чтобы запятая передвинулась вправо, ровно на период. 100 х=224,(24) Выполним следующую операцию: 100 х-х=224,(24)-2,(24) 99 х=222 б) Поступим так же. х=1,(147), тогда 1000 х=1147,(147) х-х=1147,(147)-1,(147) 999 х=1146

К сожалению, описать все числа с помощью множества рациональных чисел не удалось. На прошлом уроке мы с вами познакомились с операцией вычисления корня квадратного. Так длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами равными 1 и 2 равна, но это число не может быть представлено в виде несократимой дроби, а значит, не является рациональным. Таким образом, нам необходимо расширить наше понимание о множествах чисел. В математике не принято говорить, что число не рациональное, обычно говорят, что такие числа иррациональные. По другому говоря иррациональное число – неразумное число, в некотором смысле непонятное. Любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби, но в отличие от рациональных чисел никакого периода уже тут не будет. То есть выделить порядок в записи хвостика числа не возможно. Вы можете убедиться в этом сами, возьмите калькулятор и вычислите … Калькулятор вычислит приближенное значение, с точностью до того знака который умещается на экран. Посмотрев на полученные числа, можно убедиться, что после запятой явно ни какого порядка нет.

Иррациональным числом называют бесконечную непериодическую дробь. Если, где n,k, то есть n не является точным квадратом другого натурально числа, то иррациональное число. Иррациональные числа встречаются довольно таки часто, одним из самых ярких примеров является знаменитое и важное число. Если рассмотреть совершенно любую окружность и разделить ее длину на диаметр то всегда, получается. Было доказано, что это число иррациональное. Операции над иррациональными числами проводить довольно таки сложно, и даже в современной математике остались вопросы о роде многих чисел и многие математики занимающиеся теорией чисел бьются над известными проблемами иррациональных в течение сотен лет.

Но мы можем подвести некоторый итог: 1. Если складывать, вычитать, умножать, делить (кроме деления на 0) рациональные числа, то в ответе получится рациональное число. 2. Арифметические операции над иррациональными числами, могут привести как к иррациональному числу, так и рациональному. 3. Если в арифметической операции участвуют как рациональные так и иррациональные числа, то в результате получится иррациональное число.