ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА Панкратов И.Ю., доцент, канд. экон. наук 1

ПРОГРАММА КУРСА 1. ВВЕДЕНИЕ В ВЫСШИЕ ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ 2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ 3. ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ. ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ 4. АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИЙ 5. ПЛАНИРОВАНИЕ ПОГАШЕНИЯ ДОЛГОСРОЧНОЙ ЗАДОЛЖЕННОСТИ 6. ЦЕННЫЕ БУМАГИ 7. ОЦЕНКА РЫНОЧНОГО РИСКА 8. АНАЛИЗ ПОРТФЕЛЯ АКТИВОВ 2

ЛЕКЦИЯ 1. ВВЕДЕНИЕ В ВЫСШИЕ ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ. ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА. ЧТО ЭТО? Финансовая математика представляет собой совокупность методов определения изменения стоимости денег, происходящего вследствие их возвратного движения в процессе воспроизводства. (Е. М. Четыркин) Финансовая математика – это система практически необходимых расчетов доходности финансовых, инвестиционных и торговых операций во времени с учетом инфляции, валютных курсов, а также юридических и фактических условий выполнения договоров. (Мицкевич А.А.) 4

Объект и предмет Объектом изучения финансовой математики является финансовая операция, в которой необходимость использования финансово-экономических вычислений возникает всякий раз, когда в условиях сделки (финансовой операции) прямо или косвенно присутствуют временные параметры: даты, сроки выплат, периодичность поступления денежных средств, отсрочка платежей и т.д. Предметом является изучение функциональных зависимостей между параметрами коммерческих сделок или финансово- банковских операций и разработка на их основе методов решения финансовых задач определенного класса. 5

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ -измерение конечных финансовых результатов операции (сделки, контракта) для каждой из участвующих сторон; -разработка планов выполнения финансовых операций, в том числе планов погашения задолженности; -измерение зависимости конечных результатов операции от основных ее параметров; -определение допустимых критических значений этих параметров и расчет параметров эквивалентного (безубыточного) изменения первоначальных условий операции и др. 6

Для чего это надо? выбрать подходящий кредит по сроку, сумме, способу его погашения, грамотно осуществлять его досрочное погашение; подобрать подходящие финансовые инструменты для инвестиций и рассчитать возможный результат от вложения свободных средств; оценить уровень риска тех или иных инвестиций и постараться его минимизировать; обеспечить себя постоянным потоком денежных средств, с тем чтобы регулярно получать некий минимальный уровень дохода, не зависящий от вашей трудоспособности, занятости, ситуации на работе. 7

ИЗМЕНЕНИЕ СТОИМОСТИ ВЛОЖЕНИЙ ЗА СЧЕТ ПРИСОЕДИНЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ Экономический смысл операции наращения состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Здесь идет движение денежного потока от настоящего к будущему. Величина FV показывает будущую стоимость «сегодняшней» величины инвестиции РV при заданном уровне интенсивности начисления процентов r

Виды процентных ставок

Простая процентная ставка применяется к одной и той же первоначальной сумме долга на протяжении всего срока ссуды, т.е. исходная база (денежная сумма) всегда одна и та же. Сложная процентная ставка применяется к наращенной сумме долга, т.е. к сумме, увеличенной на величину начисленных за предыдущий период процентов, - таким образом, исходная база постоянно увеличивается. Фиксированная процентная ставка - ставка, зафиксированная в виде определенного числа (суммы) в финансовых контрактах, Плавающая процентная ставка привязанная к определенной величине, изменяющейся во времени, включая надбавку к ней (маржу), которая определяется целым рядом условий (сроком операции и т.п.). Постоянная процентная ставка Основу процентной ставки составляет базовая ставка, которая является начальной величиной, неизменная на протяжении всего периода ссуды. Переменная процентная ставка дискретно изменяющаяся во времени, но имеющая конкретную числовую характеристику

Основные категории финансово- экономических расчетов PV (ПС)- текущая стоимость (англ. present value) - исходная сумма или оценка современной величины денежной суммы, поступление которой ожидается в будущем, в пересчете на более ранний момент времени FV (БС)- будущая стоимость (англ. future value) - наращенная сумма или будущая стоимость, т.е. первоначальная сумма долга с начисленными на нее процентами к концу срока ссуды; I - Процентные деньги (англ. interest money), называемые часто коротко «проценты», представляют собой абсолютный доход от предоставления долга.

Основные категории финансово- экономических расчетов r - процентная ставка (rate of interest), характеризующая интенсивность начисления процентов за единицу времени - отношение суммы процентных денег, выплачивающихся за определенный период времени, к величине ссуды. Этот показатель выражается либо в долях единицы, либо в процентах, и показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной вложенной суммы, т.е. по существу является базисным темпом роста. r =I/PV = (FV- PV) / PV

Модель простых процентов FV = PV+I = PV+r*PV*n=PV*(1+r*n) где – n срок ссуды, I – начисленные за весь срок проценты, r- процентная ставка (1+ n*r) - множитель наращения простых процентов.

Наращивание по схеме простых процентов

ПРИМЕР 1 Определить проценты и сумму накопления долга, если размер ссуды, выданной на 4 года, составляет 700 тыс. руб., проценты простые по ставке 20% годовых (r = 0,2). 15 Решение: I = 700 *4 * 0,2 = 560 тыс. руб; FV = = 1260 тыс. руб.

Расчет простых процентов Три варианта расчета простых процентов: - точные проценты с точным числом дней ссуды (английская практика). Этот вариант, естественно, дает самые точные результаты. Данный способ применяется центральными банками многих стран и крупными коммерческими банками, например, в Великобритании, США. - точные проценты с точным числом дней ссуды (английская практика). - обыкновенные (коммерческие) проценты с точным числом дней ссуды (французская практика). Этот метод, иногда называемый банковским, распространен в межстрановых ссудных операциях коммерческих банков. Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов. - обыкновенные (коммерческие) проценты с точным числом дней ссуды (французская практика). - обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская практика). Такой метод применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах. - обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды

ПРИМЕР 2 Ссуда в размере 1 млн. руб. выдана до включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? При решении применить три метода расчёта срока ссуды. Решение 17

Плавающие простые проценты В том случае, если на последовательных интервалах начисления процентов n 1, n 2, n З,..., n m устанавливаются разные процентное ставки r 1, r 2, r m, то наращенная сумма может быть определена как Где r t – ставка простых процентов в периоде t, n t – продолжительность периода с постоянной ставкой.

ПРИМЕР 3 Кредитный договор оговаривает предоставление ссуды в объеме 500 тыс. рублей на два года и предусматривает следующий порядок начисления процентов: В течении первого полугодия – 30% годовых; В течении второго полугодия – 40% годовых; В течении второго года – 70% годовых Требуется рассчитать наращенную сумму к моменту окончания кредитного договора: 19

Начисление процентов при изменении сумм депозита во времени 20 Где R j - остаток средств на счете в момент / после очередного поступления или списания средств; n j - срок хранения денег (в годах) до нового изменения остатка средств на счете; Y – дней в году; Y/i – процентный делитель (interest division) ; процентное число -

ПРИМЕР 4 Движение средств на счете характеризуется следующими данными: поступило 12 млн. руб., снято 4 млн. руб. и поступило 8 млн. руб. Найти сумму на счете на конец года. Процентная ставка 18% годовых. Решение 21

ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО ПРОСТЫМ ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ Дисконтирование - приведение будущих денег к текущему моменту времени. В большинстве случаев именно с помощью дисконтирования, а не наращения, удобно учитывать такой фактор, как время. В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования - математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае применяется ставка наращения, во втором - учетная ставка. d – учетная ставка (англ. discount rate), или дисконтный множитель (норма банковского дисконтирования), показывающий какую долю составляет первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы. d = (FV- PV) / FV 22

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ Математическое дисконтирование представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды. Задача, в этом случае, формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму S, при условии, что на долг начисляются проценты по ставке r. 23 Дробь 1/(1+rn) – дисконтный или дисконтирующий множитель, множитель математического дисконтирования Совершая операцию дисконтирования, мы мысленно перемещаемся от желаемого результата финансовой операции к моменту принятия решения

ПРИМЕР 5 Случай из жизни. Илья и Кирилл собираются через год вместе ехать на отдых, стоимость которого руб. на каждого. Илья решил откладывать и хранить деньги дома, Кирилл вкладывать деньги на банковский депозит под 7% годовых. Для упрощения будем считать, что проценты на депозит начисляются по ставке 7% на общий объем вложенных в банк средств через год в момент закрытия счета по схеме простого процента. Вопрос: какую сумму должны откладывать ежемесячно Илья и Кирилл, чтобы через год иметь необходимые каждому из них руб.? Решение Решение 24

БАНКОВСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока (maturity value). При этом применяется учетная ставка d. 25 Учет посредством учетной ставки чаще всего осуществляется при временной базе Y = 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным, ACT/360

ПРИМЕР 6 Вексель выдан на сумму 1 млн руб. с уплатой 30 сентября 2014 г. Векселедержатель учел вексель в банке 10 мая 2014 г. по учетной ставке 70% (т. е. фактически перепродал вексель банку). Найти сумму, полученную векселедержателем, и дисконт в пользу банка. Решение 26

Зависимости между процентной и учетной ставкой Ставки Прямая задача Обратная задача rFV=PV(1+n*r)PV=FV/(1+n*r) dPV=FV(1-n*d)FV=PV/(1-n*d) Два метода наращения и дисконтирования - по ставке наращения r и учетной ставке d - приводят к разным результатам даже тогда, когда r = d. Учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Влияние этого фактора усиливается при увеличении величины ставки.

Процентная и учетная ставки Дисконтные множители (ДМ) для случая, когда r=d=20% 28 Выбор конкретного вида процентной ставки заметно влияет на финансовые итоги операции. Однако возможен такой подбор величин ставок, при котором результаты наращения или дисконтирования будут одинаковыми. Такие ставки называются эквивалентными.

Изменение величины дисконтных множителей 29

Точный простой процент с точным числом дней В российских банках и кредитных организациях с 1998 года используют точный процент с базой в 365 или 366 дней. При этом и число дней в месяце нужно указывать точно; Точные проценты с точным числом дней обозначаются как (к,365) или (АСТ, АСТ); Точное число дней MS EXCEL вычисляется простым вычитанием ячеек с типом данных «ДАТА» 30

В этом случае применяют базу равную 360 дням, но указывают точное число дней кредита. Обозначается этот способ начисления простых процентов как (365,360) или (АСТ,360). База формируется исходя из 30-и дней в банковском месяце, но при этом учитывается точное число дней в периоде кредитования. Точное число дней MS EXCEL вычисляется простым вычитанием ячеек с типом данных «ДАТА» Обыкновенные проценты с точным числом дней

n – число дней, кратное «банковскому» месяцу: n = 30, 60, 90, …360; По вкладам и кредитам в основном частных лиц на короткий срок, обычно до года, банки обычно начисляли простой процент по формуле обыкновенного или коммерческого процента. 360/360 Приближенное число дней в MS EXCEL вычисляется с помощью формулы ДНЕЙ360 () Обыкновенный или коммерческий простой процент

РЕШЕНИЕ. ПРИМЕР 2 Предварительно определим число дней ссуды: точное - 258, приближенное Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365): 2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365): 3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360):

ПРИМЕР 4. РЕШЕНИЕ Процентный делитель составит 365:18 = 20, Расчет суммы процентных чисел 34 Сумма процентов за весь срок составит:

ПРИМЕР 5. РЕШЕНИЕ Илья: 60000/12 = 5000 Кирилл: ставка дисконтирования = 1/(1+0,07)= 0,935. Современная стоимость с учетом дисконтирования = руб. Ежемесячный платеж = 4673 руб., что на 327 руб. меньше, чем у Ильи. В данном случае решение Кирилла вкладывать средства на банковский депозит представляется более рациональным. 35

ПРИМЕР 6. РЕШЕНИЕ Количество дней между датой учета векселя банком и датой погашения 143. Рассчитаем сумму, полученную векселедержателем за 143 дня до даты погашения: 36 Дисконт в пользу банка D=1-0,72=0,28 млн. руб.