ЛЕКЦИЯ 3. ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ. ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

ПОТОК ПЛАТЕЖЕЙ Поток платежей (cash flows stream) – последовательность платежей во времени (погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплаты пенсии и т.д.) Член потока (cash flow) – отдельный элемент потока платежей 2

КЛАССИФИКАЦИЯ ПОТОКОВ Потоки платежей могут быть регулярными (размеры платежей постоянные или следуют установленному правилу, предусматривающему равные интервалы между платежами) и нерегулярными. Члены потоков могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными величинами (выплаты). 3

ПОНЯТИЕ ФИНАНСОВОЙ РЕНТЫ Финансовая рента (rent) – это поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы (последовательность получения процентов по облигации, платежи по потребительскому кредиту, выплаты в рассрочку страховых пенсий и т.д.). При ежегодных выплатах такой поток платежей называют аннуитетом (annuity) 4

ПАРАМЕТРЫ РЕНТЫ Поток платежей характеризуется следующими параметрами: 1) член ренты R (rent) - размер отдельного платежа; 2) период ренты (rent period, payment period) τ- временной интервал между двумя последовательными платежами; 3) срок ренты (term) n - время от начала первого периода ренты до конца последнего периода; 4) процентная ставка i; 5) число р платежей в году; 6) частота m начисления процентов. 5

КЛАССИФИКАЦИЯ РЕНТ (1) 1) По количеству выплат членов ренты на протяжении года: ренты делятся на годовые (выплата раз в году) и р-срочные (р количество выплат в году). 2) По последовательности платежей: непрерывные и дискретные 3) По числу раз начисления процентов на протяжении года: ренты с ежегодным начислением процентов (m=1), с начислением процентов m раз в году и непрерывным начислением процентов; 4) По величине своих членов ренты делятся на постоянные (с одинаковыми размерами члена ренты) и переменные (изменяют свои размеры во времени, следуя какому-либо закону, например арифметической или геометрической прогрессии, или несистематично (задаются таблицей)) 5) По вероятности выплат: верные (certain annuity ) и условные (contingent annuity). Верные ренты подлежат безусловной уплате, например, при погашении кредита и число членов такой ренты заранее известно. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события, число ее членов заранее неизвестно. 6

КЛАССИФИКАЦИЯ РЕНТ (2) 6) По количеству членов: ренты ограниченные или конечные и бесконечные или вечные (perpetuity). 7) По соотношению начала срока ренты и какого-либо момента времени, упреждающего начало ренты (например, начало действия контракта или даты его заключения), ренты делятся на немедленные и отложенные, или отсроченные (deffered annuity). 8) По моменту выплат платежей: рента обычная или постнумерандо (ordinary annuity), если платежи производятся в конце периода; рента пренумерандо (annuity due), если платежи производятся в начале периода. 7

ОБОБЩАЮЩИЕ ПАРАМЕТРЫ ПЛАТЕЖЕЙ Анализ потока платежей предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик: 1) Наращенная сумма (amount of cash flows) - сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами; 2)Современная стоимость потока платежей (present value of cash flows) - сумма всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени. 8

ПРЯМОЙ МЕТОД РАСЧЕТА НАРАЩЕННОЙ СУММЫ И СОВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ ПОТОКА ПЛАТЕЖЕЙ Имеется ряд платежей R p выплачиваемых спустя время n t, после некоторого начального момента времени. Общий срок выплат n лет. Необходимо определить наращенную на конец срока потока платежей сумму. Если проценты начисляются раз в году по сложной ставке i, то, обозначив искомую величину через S, получим 9

ПРИМЕР1 График предусматривает следующий порядок выдачи ссуды во времени: 1 июля 2010 г. - 5 млн. руб., 1 января 2011 г млн. руб., 1 января 2013 г млн. руб. Необходимо определить сумму задолженности на начало 2014 г. при условии, что проценты начисляются по ставке 20% июля января января января S-?

РЕШЕНИЕ 11

НАРАЩЕННАЯ СУММА ПОСТОЯННОЙ РЕНТЫ ПОСТНУМЕРАДО 12 Начнем с наиболее простого случая - годовой ренты постнумерандо. Пусть в течение п лет в банк в конце каждого года вносится по R рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i% годовых. Таким образом, имеется рента, член которой равен R, а срок - п. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты - на первый член проценты начисляются n-1 год, на второй n-2 и т.д. На последний взнос проценты не начисляются (напомним, что рента постнумерандо). Наращенная к концу срока каждого взноса сумма составит:

НАРАЩЕННАЯ СТОИМОСТЬ РЕНТЫ Наращенная сумма для платежа, поступающего за год до момента выплаты наращенной суммы ренты S по схеме сложного процента - R(1 + i) 1 Наращенная сумма для платежа, поступающего за два года до момента выплаты наращенной суммы ренты S по схеме сложного процента, составит R(1 + i) 2 и т. д. Для первого платежа ренты наращенная сумма составит R(1 + i) n-1 - платеж был внесен через год после начала ренты, т. е. за (n - 1) лет до ее окончания. 13

ПРИМЕР 2 Дмитрий планирует через 10 лет выйти на пенсию и переехать в регион с более благоприятным климатом. Стоимость покупки жилья в этом регионе 2 млн. руб. Ежегодно по итогам работы за год Дмитрию выплачивают бонус в объеме руб. Достаточно ли этих средств, чтобы за 10 лет накопить 2 млн руб.? Вариант 1: накопление средств дома. 10 лет 0,15 млн руб. = = 1,5 млн. руб. Вариант 2: открытие сберегательного счета в банке под 12% годовых с начислением средств на текущий остаток, с капитализацией процентов. Используя формулу, рассчитываем сумму на счете в банке через 10 лет 14

ГОДОВАЯ РЕНТА, НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ m РАЗ В ГОДУ 15

РЕНТА Р-СРОЧНАЯ (m = 1) Пусть рента выплачивается р раз в году равными суммами, процент начисляется раз в конце года. Если годовая сумма платежей равна R, то каждый раз выплачивается R/p. Общее число членов ренты равно пр. Последовательность членов ренты с начисленными процентами представляет собой геометрическую прогрессию. Первый член ее равен R/p, знаменатель - (1 + i) 1/p. Сумма членов этой прогрессии 16

РЕНТА p-срочная с начислением процентов m раз в год Пусть рента выплачивается p раз в год равными суммами, процент начисляется т раз в течение года. Если годовая сумма платежей равна R, то каждый раз выплачивается - R/p Наращенную стоимость рентных платежей можно представить в виде ряда 17

ПРИМЕР 3 Елене и Евгению по 23 года, они - молодая супружеская пара, живут вместе с родителями Евгения, но хотят накопить на первоначальный взнос по ипотеке. Их совокупный доход составляет руб. в месяц после налогообложения, и им нужно накопить не менее 30% стоимости квартиры. Они решили, что готовы копить не более пяти лет и хотят купить как минимум небольшую двухкомнатную квартиру, которая стоит на текущий момент около 5 млн. руб. Через пять лет при инфляции 10% ее стоимость составит 8 млн. руб., т. е. Елене и Евгению нужно через пять лет накопить 2,4 млн. руб. Елена предлагает ежемесячно откладывать средства на депозит на год с автоматической пролонгацией, под 12% годовых, проценты начисляются в конце месяца. Таким образом, речь идет о ренте постнумерандо. В этом случае 18

РАСЧЕТ РЕНТЫ ПРИ НЕПРЕРЫВНОМ НАЧИСЛЕНИИ ПРОЦЕНТОВ Если проценты начисляются непрерывно, характеристиками ренты являются R, n, δ, p = 1. Сумма R выплачивается один раз в конце года и на выплаченную сумму начисляются непрерывные проценты по ставке (силе роста) δ. 19

СОВРЕМЕННАЯ СТОИМОСТЬ РЕНТЫ Современная стоимость потока платежей А - это сумма всех выплат, дисконтированных на начало срока этого потока. Современная стоимость потока платежей эквивалентна в финансовом смысле всем платежам, которые охватывает поток. 20

БЕССРОЧНАЯ РЕНТА 21

ПРИМЕР 4 Знакомый Дмитрия переезжает и предлагает ему купить его дом в южном регионе за 2 млн. руб. Как уже говорилось в предыдущем примере, Дмитрий планирует через 10 лет выйти на пенсию и переехать в регион с более благоприятным климатом. Ежегодно по итогам работы за год ему выплачивается бонус в размере руб. Покупать нужно сегодня. Возможно взять кредит в банке с ежегодными платежами по его погашению (за счет средств бонусов). Процентная ставка по кредиту 12% годовых. Но хватит ли полученных за 10 лет в качестве бонусов средств, чтобы расплатиться по кредиту? Используя формулу, рассчитываем, что для того, чтобы расплатиться с банком по 10-летнему кредиту в 2 млн руб. со ставкой 12%, необходимо ежегодно уплачивать в конце каждого года руб. А таких денег у Дмитрия нет, что делает невозможным покупку дома в кредит. 22

РАСЧЕТ РЕНТЫ ПОСТНУМЕРАДО ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ПАРАМЕТРАХ 23

РАСЧЕТ СРОКА РЕНТЫ 24

ПРИМЕР 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ РЕНТЫ При разработке контрактов или условий финансовых операций могут возникнуть случаи, когда необходимо найти недостающие параметры при заданных значениях S или А 25 Инвестор вложил 50 млн. руб., с тем чтобы через два года после инвестиции в течение шести лет получать по 15 млн. руб. в год (рента постнумерандо). Управляющей компании требуется определить, какой уровень доходности на вложенный капитал необходимо обеспечить для данного инвестора и реально ли это. Для решения этой задачи необходимо найти современную величину годовой ренты постнумерандо на момент начала ренты (через два года после инвестиции) На момент начала инвестиций (момент T 0)

ПРИМЕР6. EXCEL. ПОДБОР ПАРАМЕТРА 26

ПОСТОЯННАЯ РЕНТА ПРЕНУМЕРАДО Чтобы определить современную и наращенную стоимость ренты пренумерандо, необходимо привести ренту пренумерандо к эквивалентной ей ренте постнумерандо. 27

ПРИМЕР 7 Анализируются два варианта накопления средств по схеме ренты пренумерандо. 1. Каждые полгода на депозит вносится по 1000 долл.. банк начисляет 6% годовых с полугодовой капитализацией процентов. 2. Ежегодно на депозит вносится по 2000 долл., банк начисляет 8% годовых с ежегодной капитализацией процентов. Необходимо определить, какая сумма будет на счете через пять лет. Какой вариант более предпочтителен? 28

ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ Для первого варианта р=т=2. Запишем формулу для расчета наращенной суммы ренты пренумерандо: 29 Для второго варианта имеем годовую ренту пренумерадо:

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФИНАНСОВЫХ ФУНКЦИЙ MS EXCEL для расчета параметров по вкладам или ренте (P=m) 30

РАСЧЕТ НАРАЩЕННОЙ СТОИМОСТИ ДЛЯ ВКЛАДА ИЛИ РЕНТЫ (p=m) Функция БС рассчитывает наращенную стоимость для ренты и будущее значение вклада на основе сложной процентной ставки. Причем функция БС и нижеописанные финансовые функции рассчитывают параметры для ренты, у которой число выплат равно числу начислений процентов в году (р = т). БС (ставка; кпер; плт; nc; тип). 31 Все аргументы, означающие средства, которые вы выплачиваете (например, депозитные вклады), вводятся как отрицательные числа. Все аргументы, означающие средства, которые вы получаете (например, дивиденды), вводятся как положительные числа.

Расчет наращенной стоимости на основе фиксированно изменяющейся процентной ставки Если в контракте задана плавающая процентная ставка (ставка, меняющаяся со временем), расчет наращенной стоимости производится с помощью функции БЗРАСПИС: БЗРАСПИС (первичное; план). где первичное текущий размер вклада; план массив процентных ставок (может включать до 29 аргументов). Обычно значения ставок вводятся в ячейки таблицы, а затем на данный массив делается ссылка. 32

Расчет современной стоимости вклада или ренты (р = т) Функция ПС используется для расчета текущей (современной) стоимости единой суммы вклада или современной стоимости ренты (р=т) ПС (ставка; кпер; плт; бс; тип). 33

РАСЧЕТ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ ВКЛАДА ИЛИ РЕНТЫ Функция СТАВКА рассчитывает процентную ставку за период методом последовательного приближения. Если требуется найти годовую процентную ставку, необходимо полученное значение умножить на число расчетных периодов, составляющих год: СТАВКА (кпер; плт; пс; бс; тип; предположение). Если после 20 итераций погрешность превышает 0, , то функция возвращает значение ошибки #ЧИСЛО. В этом случае можно попытаться изменить значение аргумента «предположение». 34

Расчет срока платежа для вклада или ренты (р = n) Функция КПЕР рассчитывает число периодов выплат, через которое начальная сумма достигнет заданного значения вклада: КПЕР (ставка; плт; пс; бс; тип). Если платежи производятся несколько раз в год, то для определения числа лет выплат необходимо разделить полученное значение на число расчетных периодов в году. 35

Расчет эффективной и номинальной процентной ставки Функция ЭФФЕКТ рассчитывает фактическую (эффективную) годовую процентную ставку, если задана номинальная процентная ставка и количество периодов, составляющих год: ЭФФЕКТ (номинальная_ставка; кол_пер). 36 Функция НОМИНАЛ рассчитывает номинальную годовую процентную ставку, если известна эффективная ставка и число периодов, составляющих год: НОМИНАЛ (эффект_ставка; кол_пер).

ПРАКТИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ Кредит лучше: если вещь вам нужна экстренно, а копить на нее придется слишком долго; если у вас значительная положительная разница между доходами и расходами, а вещь, которую вы хотите купить, быстро не подешевеет. В этом случае вы сможете быстро досрочно погасить кредит; если вещь, которую вы хотите купить, со временем дорожает. Тогда накопление средств на депозите сильно не приблизит вас к цели, так как ее стоимость будет также постоянно возрастать. Депозит лучше: если ваш доход крайне нестабилен. В этом случае кредит может быть опасен: могут быть периоды, когда у вас не будет оставаться средств на выплаты по кредиту; если вы хотите покупать вещь, которая быстро дешевеет: подождав несколько месяцев, вы купите ее за меньшие деньги (например, мобильный телефон, компьютер). 37