Оглавление Перейдите в режим показа. Нажмите на интересующий вас материал Вернуться в главное меню Кнопки возврата в оглавление Кнопка возврата из оглавления на последний изучаемый слайд Слайды 2,3 - оглавление

Оглавление Степень с натуральным показателем Степень с целым, рациональным, действительным показателем Квадратный корень Свойства квадратного корня Преобразование выражение, содержащих корень Корень n-ой степени Корень n-ой степени Алгебраические преобразования Рациональные дроби Уравнения. Линейные уравнения Полные квадратные уравнения

Оглавление Неполные квадратные уравнения Дробные рациональные уравнения Уравнение вида произведение равно нулю Уравнения в виде пропорции Квадратный трехчлен Неравенства Линейные неравенства Квадратные неравенства Системы неравенств

Произведение одинаковых сомножителей, умноженных n раз называется ____________________________________________ а а а …а = n раз } а – называется _________________ n – называется __________________ a n – называется __________________ степенью с натуральным показателем аnаn основанием показателем степенью 2·2·2·2·2 = 2 5 3·3·3·3 = , 0,6 3, ( - 7) 2, (¼ ) 5, х 4, (a + b) 2 а n Оглавление

Если n = 2, например, х 2, 5 2, (a + b) 2, то говорят икс в квадрате, пять в квадрате, а плюс b в квадрате. Если n = 3, например, х 3, 5 3, (a + b) 3, то говорят икс в кубе, пять в кубе, а плюс b в кубе. При других показателях, например, х 5, 5 6, (a + b) 4, говорят икс в пятой степени, пять в шестой степени, а плюс b в четвертой степени.

2 2 = 3 2 = 5 2 = 2 3 = 3 3 = 5 3 = 2 4 = 3 4 = 5 4 = 2 5 = 3 5 = 2 6 = 2 7 = 11 2 = 12 2 = 13 2 = 14 2 = 15 2 = 25 2 = Оглавление

Любое число в первой степени равно ____________________________. Единица в любой степени равна ____________________ а 1 = _____ Единицу в показателе не пишут. 1 n = _____ Нуль в любой степени равен __________________ 0 n = _____ равно этому числу а единице нулю 1 0 Оглавление

2. К результату приписать столько нулей, сколько их в основании, умноженном на показатель. 1. Возвести в степень число без нулей; Выполните примеры 20 3 = = = = = = = Оглавление

2. Справа налево отсчитать столько знаков, сколько их в произведении количества знаков после запятой в основании на показатель степени. 1. Возвести в степень число, не взирая на запятую; 0,80,002 2 =1 211,1 Выполните примеры 0,2 3 = 1,1 2 = 0,04 2 = 0,12 2 = 0,15 2 = 0,0225 0,0144 0,0016 1,21 0,008, 3 =, Оглавление

Минус в четной степени будет плюс Минус в нечетной степени будет минус -(2) 4 Минус у основания Минус у основания (-2) 3 Минус у степени Минус у степени -(-2) 4 Минусы у основания и степени Минусы у основания и степени Минус возводим в степень Сначала знак, потом возводим в степень, Минус возводим в степень, потом - общий знак Выполните примеры. Сначала поставьте знак, потом вычисляйте. (-2) 4 = ______________________ - (2 х) 4 = _______________________ ( - 2/5) 3 = _______________________ - (-а) 5 = _______________________ х 4 -8/125 +а 5 а 5 Оглавление

Показатели ________________ 1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями сложить 2. Деление степей с одинаковыми основаниями вычесть 3. Возведение степени в степень умножить Оглавление

Представьте произведение в виде степени: 1) 2 3 ·2 7 = 2 2) 2 3 ·2 7 · 2 4 = 23) 10 3 ·10 2 = 10 4) а 5 ·а 3 = а 5) k 3 ·k 7 · k 4 = k 6) 10 3 ·10 т = 107) m ·10 т = 10 8) 2 ·2 7 · 2 4 = 2 Представьте в виде степени. Найдите значение выражения: 1) 2 3 ·2 4 = _______2) 3 3 ·3 = _______3) 10 3 ·10 2 = _______4) 0,5 3 ·0,5 = _______ 5) 16·2 4 = _______6) 3 3 ·9 = _______7) 2·10 3 · 3·10 2 = __________8) 32·32 = _________ Представьте частное в виде степени: 1) 2 7 :2 4 = 2 5) а 5 :а 3 = а 6) 10 3 :10 т = 10 Представьте в виде степени. Найдите значение выражения: 1) 2 5 :2 4 = _______ = _______3) 10 9 /10 6 = _______4) 0,5 3 :0,5 = _______ 5) 32/2 4 = _______6) 3 4 /27 = _______ = __________8) x 6 : x = _________ = 2= 5= 3= 4= 2 Проверь себя на следующем слайде. Оглавление

Представьте произведение в виде степени: 1) 2 3 ·2 7 = 2 2) 2 3 ·2 7 · 2 4 = 23) 10 3 ·10 2 = 10 4) а 5 ·а 3 = а 5) k 3 ·k 7 · k 4 = k 6) 10 3 ·10 т = 107) m ·10 т = 10 8) 2 ·2 7 · 2 4 = 2 Представьте в виде степени. Найдите значение выражения: 1) 2 3 ·2 4 = _______2) 3 3 ·3 = _______3) 10 3 ·10 2 = _______4) 0,5 3 ·0,5 = _______ 5) 16·2 4 = _______6) 3 3 ·9 = _______7) 2·10 3 · 3·10 2 = __________8) 32·32 = _________ Представьте частное в виде степени: 1) 2 7 :2 4 = 2 5) а 5 :а 3 = а 6) 10 3 :10 т = 10 Представьте в виде степени. Найдите значение выражения: 1) 2 5 :2 4 = _______ = _______3) 10 9 /10 6 = _______4) 0,5 3 :0,5 = _______ 5) 32/2 4 = _______6) 3 4 /27 = _______ = __________8) x 6 : x = _________ = 2= 5= 3= 4= т 3+3 т = , = = т 33-т /3·10 4 х 5 х ,0625 Любое число в нулевой степени кроме ___________ равно __ нуля 1 Оглавление

Произведение степеней с одинаковыми основаниями Показатели ______________ Частное степеней с одинаковыми основаниями Показатели ______________ Возведение степени в степень Показатели ______________ (a n ) m = a n a m = Возведение произведения в степень Возвести ________ _________________ Произведение степеней с одинаковыми показателями Умножить _______ _________________ Возведение дроби в степень Возвести ________ _________________ Деление степеней с одинаковыми показателями Разделить а на ____ _______________ (ab) n = a n b n = a n + m a n - m a n m сложить вычесть умножить каждый множитель основания числитель и знаменатель b возвести в степень a n b n (ab) n Оглавление

Действия с числовыми основаниями 1. Разложение числа на простые множители. Представьте составное числа в виде произведения степеней с простыми основаниями: 1) 12 = _________2) 24 = _________3) 75 = __________4) 48 = ____________ 5) 72 = _________6) 250 = _________7) 54 = __________8) 80 = ____________ Разложите числа на простые множители: = 576 = 540 = 1296 = 22·322·323·323·352·352·324·324·3 23·3223·32 53·253·233·233·224·524· ·3325·33 26·3226·32 22·33·522·33·5 24·3424·34

Возведение в степень – действия первой ступени: выполняются раньше других При наличии числовых оснований – разложите их на простые множители Представьте в виде произведения степеней с простым основанием: 1) (12) 2 = _________2) 6 4 = _________ 3) (15) 3 = __________4) (48) 3 = ____________ 5) 72 2 = _________6) 8 4 = _________7) 27 2 = __________8) (80 ) 3 = ___________ Вычислите: при с = -3; с = ¼ при с = -3 ответ: _____ при с = ¼ ответ: ________ 24·3224·32 24·3424·34 53·3353· ·3 3 23·3223· ·5 4 с 2 с 2 9 1/16 Оглавление

Вычислите: Сократите степени с основанием 2 и степени с основанием 3 Разложите составные числа на степени с простым основанием. Выполните действия: Оглавление

n – натуральное число; m – целое число Свойства степеней такие же, как и свойства с натуральным показателем Оглавление

Примеры Оглавление

Произведение степеней с одинаковыми основаниями Показатели ______________ Частное степеней с одинаковыми основаниями Показатели ______________ Возведение степени в степень Показатели ______________ (a p ) q = a p a q = Возведение произведения в степень Возвести ________ _________________ Произведение степеней с одинаковыми показателями Умножить _______ _________________ Возведение дроби в степень Возвести ________ _________________ Деление степеней с одинаковыми показателями Разделить а на ____ _______________ (ab) p = a p b p = a p + q a p - q a p q сложить вычесть умножить каждый множитель основания числитель и знаменатель b возвести в степень a p b p (ab) p Оглавление

Квадратный корень. Арифметический корень. Область допустимых значений (область определения) корня. Квадратный корень из четной степени. Свойства квадратного корня. Вынесение, внесение множителя под знак корня. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби. Вернуться в главное меню

Действие нахождения числа по его квадрату называется извлечением квадратного корня Знаком квадратного корня является Квадратным корнем из числа а называется число, квадрат которого равен а. Вернуться в главное меню

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а. Вернуться в главное меню

Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю Так как, то а 0 Извлечение квадратного корня из отрицательного числа не имеет смысла не имеют смысла Выражения не имеют смысла Вернуться в главное меню

Так как корень арифметический, то его значение должно быть больше или равно нулю. При извлечении квадратного корня из четной степени надо показатель подкоренного выражения разделить на два и ответ взять по модулю. При возможности модуль раскрыть. Для получения значения большего или равного нулю ответ надо взять по модулю. Вернуться в главное меню

1. Корень из произведения;2. Произведение корней; _____________________ Чтобы извлечь корень из произведения, надо извлечь корни из _____________ ____________________________________ Чтобы перемножить корни, надо ____________________________________ перемножить подкоренные выражения и извлечь корень из каждого множителя множителя Примеры Вернуться в главное меню

3. Корень из дроби;4. Деление корней; _____________________ Чтобы извлечь корень из дроби, надо извлечь корни из _____________ ____________________________________ Чтобы разделить корни, надо ____________________________________ разделить подкоренные выражения и извлечь корень числителя числителя и знаменателя и знаменателя Примеры: Вернуться в главное меню

5. Возведение корня в квадрат; 4. Извлечение корня из четной степени; Возведение корня в квадрат, дает _________________________________ _________________________________ Чтобы извлечь корень из четной степени, надо ____________________________________ разделить степень подкоренного выражения на 2 и ответ взять по модулю подкоренное выражение при условии, что a 0 подкоренное выражение при условии, что a 0 Примеры: Вернуться в главное меню

Вернуться в главное меню

Корень квадратный из а в квадрате равен а по модулю: Корень квадратный в квадрате равен подкоренному выражению Чтобы извлечь корень из четной степени, надо степень подкоренного выражения разделить на 2 и ответ взять по модулю: Корень квадратный, умноженный сам на себя равен подкоренному выражению Вернуться в главное меню

2. Извлечь корень из точного квадрата 1. Разложить число на два множителя, один из которых – наибольший полный квадрат 3. Записать ответ: множитель перед корнем и корень из оставшегося множителя Вернуться в главное меню

2. Запомнить целую часть деления и остаток 1. Разделить показатель подкоренного выражения на 2 показатель множителя перед корнем;показатель множителя под корнем Примечание. Целая часть деления –показатель множителя перед корнем; остаток от деления (1) – показатель множителя под корнем 3. Записать ответ Вернуться в главное меню

1. Возвести множитель в квадрат; 2. Умножить подкоренное выражение; минусомминусперед корнем Если множитель перед корнем с минусом, то минус нужно оставить перед корнем Вернуться в главное меню

одинаковыми подкоренными выражениями Помним, что складывать можно только корни с одинаковыми подкоренными выражениями выносим вносим Вернуться в главное меню

При умножении и делении используйте свойства квадратного корня Умножение корня само на себя дает подкоренное выражение Помните ! Умножение корня само на себя дает подкоренное выражение Примеры: Вернуться в главное меню

(a ± b) 2 = a 2 ± 2ab +b 2 a 2 – b 2 = (a – b)(a + b) a 3 ± b 3 = (a ± b)(a ab + b 2 ) Примеры: Не забывать удвоенное произведение ! Не забывать ! Вернуться в главное меню

1. Общий множитель (ОМ) и открыть скобку; 2. В скобке – результат от деления слагаемого на ОМ Вернуться в главное меню

Примеры: Разность квадратов. Квадрат суммы. b 1 Тогда b равно 1, т.к. b = 2ab : 2a а Пусть удвоенное произведение и = а Сумма квадратов Вернуться в главное меню

Вернуться в главное меню

t Пусть равен t t Тогда равно t 2 Сделай замену t 2 – d 2

1. Умножить знаменатель и числитель на корень из знаменателя; 2. Ответ привести в стандартный вид. Вернуться в главное меню

1. Умножить знаменатель и числитель на сопряженное выражение; 2. Ответ привести в стандартный вид. Сопряженное выражение - это двучлены суммы и разности. Вернуться в главное меню

1. Умножить знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение; 2. Ответ привести в стандартный вид. Сначала запишите множитель в знаменателе, потом в числителе. Проверьте и запомните равенство Вернуться в главное меню

а= с с n = _____a Корень n – ой степени – это число (выражение), n – ая степень которого равна подкоренному выражению Корень n – ой степени в степени n равен подкоренному выражению Оглавление

Арифметический корень n – ой степени – это неотрицательный корень из неотрицательного числа корень четной степени корень нечетной степени Чтобы извлечь корень из степени, надо показатель подкоренного выражения разделить на показатель корня и взять ответ по модулю. Модуль по возможности раскрыть Оглавление

Область определения корня – это значения подкоренного выражения, при котором корень имеет смысл (можно вычислить его значение). Область определения корня нечетной степени – R, любое действительное число. Область определения корня четной степени – неотрицательное число Оглавление

Извлечение корня четной степени из отрицательного числа или выражения ___________________ не имеет смысла Подкоренное выражение корня четной степени ____________________________________________ должно быть больше или равно нулю Для определения область определения надо найти значения подкоренного выражения, при котором оно больше или равно нулю Оглавление

Чтобы извлечь корень из произведения, надо извлечь корень из каждого множителя Чтобы перемножить корни, надо перемножить подкоренные выражения и извлечь корень. Чтобы извлечь корень из дроби, надо извлечь корень из числителя и знаменателя Чтобы разделить корни, надо разделить подкоренные выражения и извлечь корень Запомните! Такие действия можно производить с корнями одинаковой степени. Оглавление

Корень из корня равен корню степени равной произведению показателей корней. Чтобы возвести корень в степень, надо возвести в эту степень подкоренное выражение Корень в степени корня равен подкоренному выражению Показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить или разделить на одно и тоже число, кратное n Оглавление

2. Запомнить целую часть деления и остаток 1. Разделить показатель подкоренного выражения на n показатель множителя перед корнем;показатель множителя под корнем Примечание. Целая часть деления –показатель множителя перед корнем; остаток от деления – показатель множителя под корнем 3. Записать ответ Вернуться в главное меню

1. Возвести множитель в степень n; 2. Умножить подкоренное выражение; минусомминусперед корнем Если множитель перед корнем с минусом, то минус нужно оставить перед корнем Вернуться в главное меню

Квадрат суммы, разности Сумма, разность кубов. Куб суммы, разности Вынесение общего множителя за скобку Разложение способом группировки Разложение по ФСУ Общий алгоритм разложения на множители Алгебраические преобразования

квадрату первого Квадрат суммы, разности двух чисел равен квадрату первого удвоенное произведение числа, плюс, минус удвоенное произведение первого квадрат второго числа на вторе, плюс квадрат второго числа Разность квадратов двух чисел равна произведению разности чисел на их сумму

Сумма, разность кубов двух чисел равна произведению суммы, разности чисел на неполный квадрат разности, суммы ±± Куб суммы (разности) равен кубу первого числа, плюс (минус) утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение квадрата второго на первое плюс ( минус) куб второго числа ±±±

1. Найти общий множитель среди чисел; 2. Найти общий множитель среди букв; 3. Записать общий множитель и открыть скобку; 4. В скобке записать результат деления каждого слагаемого на общий множитель. 48a 3 b 2 – 36a 2 b ab 3 = 6ab 2 ( 8a 2 – 6ab + 5b) общий множитель скобка Результат деления

По квадрату первого числа найти число; По квадрату второго числа найти число; Записать выражение в виде (a ± b) 2. Проверить удвоенное произведение; Привести выражение в стандартный вид; Проверьте себя. Разложите на множители: 1)4 – 4 х + х 2 = _________________________________________________________ 2)4 х – 4 – х 2 = _________________________________________________________ 3)- 9a 4 – 12 a 2 b – 4b 2 = __________________________________________________

Разложите на множители: 1)х 2 – 1 = ____________________ 6) – х =_______________________ 2)1/9 – у 2 = __________________ 7) (a – b) 2 – a 2 = ____________________ 3)c 2 – 0,01 = ___________________ 8) (x – 1) 2 – (3 – x) 2 = _____________________ 4)n 2 – 25m 2 = ___________________ 9) a 4 - b 4 = _____________________________ 5)a 2 – a 4 = _____________________ 10) x 4 – 1 = ________________________ Разность квадратов Разность оснований умножить на их сумму Решите уравнения, вычислите: 1)х 2 – 4= 0__________________________________________________________________ 2)9x 2 – 4 = 0 _____________________________________________________________ 3)54 2 – 44 2 = ________________________________________________________________ 4)25 2 – 12 2 = ________________________________________________________________

1. Разбить выражение на группы, содержащие ОМ; 3. Вынести общую скобку; 2. Вынести общий множитель из каждой группы; 4. Ответ привести в стандартный вид. 1)16ab 2 – 5b 2 c – 10c ac 2 = b 2 (16a – 5c)+ 2c 2 (16a – 5c)= (16a – 5c)(b 2 + 2c 2 )

1. Общий множитель (ОМ) во всем выражении, если есть, то вынести; 2. Формула сокращенного умножения во всем выражении, если есть, то применить; 3. Группировка: а) с ОМ; б) с ОМ и ФСУ; в) с ФСУ. а) группировка с общим множителем 14am – 7an + 8bm – 4bn = б) группировка с общим множителем и ФСУ х 2 – у 2 – 2 х – 2 у = в) группировка с ФСУ х ху + у 2 – 1 = 7a(2m – n) + 4b(2m – n) = (2m – n)(7a + 4b) (x – y)(x + y) - 2(x – y) = (x – y)(x + y - 2) (x + y) = (x – y - 1 )(x + y + 1) Оглавление

1. Общий множитель (ОМ) во всем выражении, если есть, то вынести; Разложите на множители: 1)3 х 2 – 3 = ________________________________________________________________ 2)2 а 2 – 4 ау + 2 у 2 = _________________________________________________________ 3)48 х = _______________________________________________________________ 4)7mn 3 – 28mn + 28m 3 = _____________________________________________________ 2. Формула сокращенного умножения во всем выражении, если есть, то применить; 1)25 х 2 – 40x + 16 = _________________________________________________________ 2)(3n – 2) 2 – 1 = __________________________________________________________ 3)a = _________________________________________________________________ 3. Группировка: а) с ОМ; б) с ОМ и ФСУ; в) с ФСУ. 3(x – 1)(x + 1) 2(a – y) 2 6(2x + 1)(4x 2 – 2x + 1) 7mn(n 2 – 4nm + 4m 2 ) = 7mn(n – 2m) 2 (5x – 4) 2 (3n – 2 - 1)(3n – 2 + 1) = (3n – 3)(3n – 1) = 3(n – 1)(3n – 1) (a 2 - 1)(a 2 + 1) = (a – 1)(a + 1) 1)a 3 – 9a + a 2 – 9 = _________________________________________________________ a(a 2 - 9) + (a 2 - 9) = (a – 3)(a + 3)(a + 1)

1. Общий множитель во всем выражении ; 3.Группировка; 2. ФСУ во всем выражении ; 2 х 2 – 16 х + 32 = 2(х 2 – 8 х + 16) =2(х – 4) 2 2 х 2 – 16 х + 32 – у 2 = 2(х 2 – 8 х + 16) – у 2 =2(х – 4) 2 - у 2 = = (2 х – 8 - у ) ) (2 х – 8 + у)

4. Раскрытие скобок (ФСУ) 5. Разложение на множители 3. Раскрытие скобок (умнож.) 2. Приведение подобных 1. Действия со степенями 6. Действия с дробями Алгебраические преобразования применяются для: 1) приведения выражений к более простому виду; 2) разложению на множители 3)приведению уравнений к решаемому виду; 4) сокращению дробей и т.д.

Алгебраической дробью называется дробь, содержащая переменные в ____________________________ Какое действие означает дробная черта? ____________________________ знаменателе деление числитель Знаменатель дроби не может быть равен ___________ Что является делимым? ____________________________ Что является делителем? ____________________________ знаменатель дробная черта числитель не имеет смысла Деление на нуль ______________________ нулю знаменатель Оглавление

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл называются допустимыми значениями переменных Допустимыми значениями дроби являются значения переменных, при которых знаменатель не равен нулю Деление на нуль не имеет смысла Знаменатель не равен нулю Допустимые значения переменных – это ОДЗ (область допустимых значений)

2. Найти значения, при которых знаменатель равен нулю; 1. Определите вид запрета (наличие дроби); 3. Исключить эти значения из множества действительных чисел Используемые сокращения: ОДЗ: - область допустимых значений; л.д.ч. – любое действительное число (R) - знак: принадлежит ( ) Нахождение корней можно выполнять устно! Оглавление

Значение дроби – это числовое значение, получаемое при подстановке данных значений переменной. Сначала упростить, потом подставлять = 0 Дробь равна нулю, если числитель равен нулю а знаменатель при этом не равен нулю Оглавление

Дробь больше нуля, если числитель и знаменатель имеют _________________ ____________________________ Дробь меньше нуля, если числитель и знаменатель имеют _____________________ ________________________ > 0 < 0 если или Чтобы изменить знак в числителе или знаменателе, надо изменить знак перед дробью и изменить знаки либо в числителе, либо в знаменателе одинаковые знаки разные знаки Оглавление

Основное свойство дроби: Значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель умножить или разделить на _____________________ или __________________, отличное от ________________ Сократить дробь значит ____________ числитель и знаменатель на общий множитель (в меньшей степени). одно и тоже число выражениенуля разделить Сокращать можно и в другом порядке Оглавление

2. Сократить числовые коэффициенты; 1. Разложить числитель и знаменатель на множители; 3. Сократить буквенные выражения на общий множитель (разделить числитель и знаменатель на общий множитель (ОМ)); 4. Ответ привести в стандартный вид. Оглавление

Сократите дроби 1. Разложить числитель и знаменатель на множители 2. Сократить числовые коэффициенты 3. Разделить числитель и знаменатель на общий множитель 4. Ответ привести в стандартный вид нет а 1b2b2 1 1 a a Оглавление

Сократите дроби 1. Разложить числитель и знаменатель на множители 2. Сократить числовые коэффициенты 3. Разделить числитель и знаменатель на общий множитель 4. Ответ привести в стандартный вид 1 1 нет х 2 х 2 1 Оглавление

Разложить Разделить При делении показатели вычитаются Общий множитель – выражение в меньшей степени Оглавление

Изучите действия, составьте алгоритмы умножения и деления дробей: При умножении: числитель умножить на _____________ знаменатель – на __________________ При делении: числитель умножить на _____________ знаменатель – на __________________ числитель знаменатель числитель Оглавление

Умножьте дроби х 2. Числитель умножить на числитель, знаменатель на знаменатель 3.. Сократить дробь 1. Разложить числители и знаменатели на множители 4. Ответ привести в стандартный вид Оглавление

Разделите дроби Числитель умножить на знаменатель, знаменатель на числитель 3. Сократить дробь 1. Разложить числители и знаменатели на множители 4. Ответ привести в стандартный вид ( ) 1 Оглавление

2. При умножении: _______________________________ ________________________________________________ при делении: _____________________________________ _____________________________________________ Разложить числители и знаменатели на множители числитель - на числитель, знаменатель - на знаменатель числитель - на знаменатель, знаменатель - на числитель Сократить дробь Ответ привести в стандартный вид Оглавление

Разложить числители и знаменатели Оглавление

Целое всегда идет в ____________ делимоеделитель Целое разделить на дробь Дробь разделить на целое делимое делитель Делимое ______________, делитель _________________ Что происходит с делимым и делителем? Используйте слова: не изменяется; переворачивается. числитель не изменяетсяпереворачивается Оглавление

1. Возведение в степень (при необходимости); 2. Действия в скобках (сначала умножение, деление, потом сложение); 3. Слева направо сначала умножение, деление, потом сложение; Запишите порядок действия Оглавление

Выполните примеры: 2a+b 11 1 Оглавление

Решение. Используя второе свойство равносильности разделим обе части на k, получим Чтобы найти неизвестное, надо Свободный член разделить на коэффициент при неизвестном kx = b, если k = 0, b 0, то уравнение решений не имеет. kx = b, если k = 0. b = 0, то уравнение имеет бесконечное множество решений, х R. Оглавление

2. Перенести неизвестные в одну сторону, свободные члены - в другую неизвестное в первой степени Это уравнение, содержащее 3. Привести подобные в каждой части 1. Раскрыть скобки. Привести подобные. 4. Решить уравнение k х = b П р о в е р я й т е : п о м е н я л и л и з н а к п р и п е р е н о с е, п р и в е л и л и п о д о б н ы е Оглавление

1. Раскрыть скобки. Привести подобные в каждой части; 18 х - 9·18 = =9 х Решите уравнение 9(2 х – 18) = - 9 х 2. Перенести неизвестные в одну сторону, свободные – в другую; Поменяйте знак при переносе 3. Привести подобные в каждой части – 18 х – 9 х = 9·18 4. Решить уравнение k х = b. (свободный член b разделить на коэффициент при х) 9 х = 9·18 х = х - 9·18 = 9 х Помни! Если свободный член представляет произведение, то не надо перемножать, так как потом возможно сократить дробь Оглавление

1. Раскрыть скобки. Привести подобные в каждой части; 8 х – 12 = 8 х 2(4 х –6) = 8 х 6(1,2 х –0,5) – 1,3 х = 5,9 х Перенести неизвестные в одну сторону, свободные – в другую; Поменяйте знак при переносе 3. Привести подобные в каждой части 4. Решить уравнение k х = b. (свободный член b разделить на коэффициент при х) 0 х = 12 Корней нет 8 х - 8 х = 12 Помни! Х не ичезает. Коэффициент при х равен нулю Решите уравнение 5,9 х – 3 = 5,9 х – 3; 5,9 х + 5,9 х = – 3 + 3; 0 х = 0 х л.д.ч. 7,2 х – 3 – 1,3 х = 5,9 х – 3; Оглавление

1. Неизвестные в одну сторону (влево), свободные члены в другую (вправо). 2. Свободный член делить на коэффициент при неизвестном. Оглавление

Не изменены знаки при переносе Ошибка при нахождении х: Потерян минус; Разделили k на b Ошибка в счете Оглавление

Это – квадратный трехчлен b 2 – 4ac дискриминантом (D) Подкоренное выражение b 2 – 4ac называется дискриминантом (D) Подкоренное выражение b2 – 4ac называется д дд дискриминантом (D) Оглавление

Решим уравнение 1) 2 х 2 – 3 х + 1 = 0 х 1,2 : коэффициенту при х с обратным знаком (- b), х 1,2 равняется: коэффициенту при х с обратным знаком (- b), Проговори и запомни! плюс, минус корень из дискриминанта (b 2 – 4ac), деленные на два а. деленные на два а. D = 9 -4·2·1 = 1 Оглавление

После выделения полного квадрата получим: b 2 – 4ac дискриминантом (D) Подкоренное выражение b 2 – 4ac называется дискриминантом (D) Подкоренное выражение b2 – 4ac называется д дд дискриминантом (D) Оглавление

1. Привести уравнение в стандартный вид: 2. Определить a, b, c (с учетом знаков) 3. Вычислить корень из дискриминанта 4. Вычислить корни уравнения по формуле Раскрыть скобки, перенести в одну сторону, расставить по местам, сократить, привести к виду а > 0. Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня Если D = 0, то уравнение имеет два одинаковых корня. Квадратный трехчлен полный квадрат Если D < 0, то уравнение не имеет корней Оглавление

1 место 2 место 3 место 2 2 Оглавление

Вид уравнения Решение ax 2 + bx = 0 ax 2 + c = 0 ax 2 + bx + c = 0 ax 2 + 2kx + c = 0 Четное b ax 2 + bx + c = 0 a + b + c = 0 ax 2 + bx + c = 0 a - b + c = 0 x 2 + px + q = 0 x(ax + b) = 0. x = 0; x = -b/a Теорема Виета. Подбор корней: х 1 ·х 2 = q; х 1 + х 2 = - p Оглавление

Решите уравнение 1. Стандартный вид (раскрыть скобки, перенести все в одну сторону, расставить по местам, а > 0 ) 2. Определите a, b, c (желательно устно) 3. Вычислите корень из дискриминанта 4. Вычислите корни уравнения по формуле (3 х – 1)(х - 2) = х(1 + 6 х) – 9 х 3 х х +2 = х + 6 х х -3 х 2 + х + 2 = 0|·(-1) a = 3, b = -1, c = - 2 (3 х – 1)(х - 2) = х(1 + 6 х) – 9 х 3 х 2 - х - 2= 0; 3 х х +2 = х + 6 х х-3 х 2 + х + 2 = 0|·(-1) 3 х 2 - х - 2= 0; Оглавление

2. Разложить левую часть на множители (вынести х за скобку); 3. Решить уравнение вида произведение равно нулю 1. Привести уравнение в стандартный вид Оглавление

1. Найти х 2 (перенести с и разделить на а ); ± ± 2, Найти х, для чего извлечь корень из –с/а и взять его с ±. ± Оглавление

1. Определите, что отсутствует 3x 2 = 27 Отсутствует bx 3 х 2 – 27 = 0 3 х 2 – 27 = 0 1. Решите уравнение 2. Перенесите свободный член ах 2 = - с 3. Найдите х 2 : разделите свободный член на коэффициент а х 2 = - с/а 4. Найдите х, для чего: извлеките корень и возьмите его со знаком ± x 2 = 9 x 1,2 = ± 3 3 х = 0 3x 2 = - 27 x 2 = - 9 Решений нет Оглавление

±

х 1,2 = ± Оглавление

±

Алгебраическое уравнение, содержащее неизвестное в знаменателе дроби называется дробным рациональным Оглавление

Так как знаменатель дроби не может быть равным нулю (делить на нуль нельзя), то Неизвестное может быть любым Неизвестное может быть любым, кроме тех значений, при которых знаменатели будут равны нулю Выбери правильный ответ Оглавление

Неизвестное может быть любым, кроме тех значений, при которых знаменатели будут равны нулю областью определения уравнения (ОДЗ) Значения неизвестного, при которых знаменатели не обращаются в нуль будем называть областью определения уравнения (ОДЗ) Чтобы найти область определения уравнения, надо: 1. Разложить знаменатели на множители; 2. Найти общий знаменатель (ОЗ); 2. Найти значения неизвестного, при котором общий знаменатель обращается в нуль; 4. Исключить эти значения из любых действительных чисел. Оглавление

-разложить знаменатели на множители; -найти общий знаменатель (ОЗ); -найти значения неизвестного, при котором общий знаменатель обращается в нуль; -исключить эти значения из любых действительных чисел. ОЗ = х(х + 2) х(х + 2) 0 х 0 х -2 х R, но х 0, х -2 ОЗ =2 х – 3 2 х – 3 0 х 3/2 х R, но х 3/2. ОЗ = у(у – 2) у(у – 2) 0 у 0 у 2 у R, но у 0, у 2 Оглавление

Домножить обе части уравнения так, чтобы знаменатели сократились Чтобы уравнение к целому виду, надо: -поставить черточки к каждому члену уравнения; -записать дополнительный множитель (ДМ); -записать результат умножения числителя или целого на ДМ Оглавление

-поставить черточки к каждому члену уравнения; -записать дополнительный множитель (ДМ); -записать результат умножения числителя или целого на ДМ х+2 х (х +2)(8 х – 5) = 9 х 2 2 х = х(2 х - 3) – (2 х – 3) у -2 у 1 (у - 2)(3 у – 2) – у = 3 у +4 Оглавление

(у - 2)(3 у – 2) – у = 3 у +4 у -2 у 1 Оглавление

1. Разложить знаменатели на множители, найти общий знаменатель; 2. Найти область определения уравнения; 3. Привести уравнение к целому виду; 4. Решить полученное уравнение; 5. Исключить посторонние корни. Оглавление

1. Разложить знаменатели на множители. Найти общий знаменатель (ОЗ) ОЗ = (х - 4)(х + 4) 3. Решите уравнение 2. Найти область определения уравнения 3. Привести уравнение к целому виду 4. Решить полученное уравнение 5. Исключить посторонние корни х – 4 – (х х + 4 х – 20) = 8 - х х – 8 = 0 х х + 8 = 0, х 1 = - 2, х 2 = 4 х = 4 - посторонний корень. Ответ: х = - 2 х - 4 = 0 или х + 4 = 0 х = 4 х = - 4 х - 4 х х (х+4)(х - 5) = 8 х R, но х ± 4 Оглавление

Решите уравнения: 1 2 х-3 10 = х(2 х - 3) – (2 х – 3)10 = 2 х 2 – 3 х – 2 х х-3 2 х 2 – 5 х – 7 = 0 х 1 = - 1, х 2 = 3,5 Так как – 7 = 0 (a-b+c=0), то можно сразу найти х 1 = - 1, х 2 = 3,5 у -2 у 1 (у - 2)(3 у – 2) – у = 3 у +4 х R, но х 3/2 у R, но у 0; 2 3 у 2 – 8 у + 4 – у = 3 у +4 3 у 2 – 12 у = 03 у( у – 4) = 0 3 у = 0 или у – 4 = 0 у = 0 или у = 4 Посторонний корень Оглавление

1. Разложить знаменатели на множители. Найти ОЗ; 2. Область определения; 3.Черточки, ДМ; 4. Результат умножения без знаменателя; 5.Решение, исключение корней ко всем членам ОЗ Черточки ставить ко всем членам уравнения. Дополнительный множитель к целому является ОЗ Оглавление

ко всем членам Черточки ставить ко всем членам уравнения. Дополнительный множитель к целому является ОЗ Если перед дробью (целым) стоит минус, то умножение ставить в скобках, потом скобки раскрыть. Не забывать исключать посторонние корни Оглавление

= 0 = 0 или = 0 АЛГОРИТМАЛГОРИТМ Решаются путем разложения всего выражения уравнения на множители. Пункт 1. Перенести все в одну сторону; Пункт 2. Разложить на множители; Пункт 3. Приравнять каждый множитель к нулю, учитывая допустимые значения другого выражения (выражений), решить уравнения (системы); Оглавление

Пример. Решить уравнение: 2 х 3 – 3 х 2 – 2 х + 3 = 0 Применим группировку: х 2 (2 х – 3) – (2 х – 3) = 0 Разложим на множители (2 х – 3)(х 2 – 1) = 0 Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл. Приравняем каждый множитель к нулю. 2 х – 3 = 0 или х 2 – 1 = 0 х 1 = 3/2 или х 2,3 = 1 Ответ: 3/2; 1 Запомните!Запомните! Сокращать на выражение, содержащее неизвестное, нельзя! Нужно все выражение уравнения разложить на множители. нельзя! Оглавление

Произведение крайних членов прогрессии равно произведению средних. a b c d = Оглавление

1. Найти область определения; 2. Перемножить крест на крест; 3. Решить соответствующее уравнение. х – л.д.ч., х 0 х – л.д.ч. 3 х = х 2 +2; х 2 – 3x +2 = 0; х 1 = 1; х 2 = 2. Ответ: 1; 2. х = 2 х 2 +2; х 2 – 1 = 0; х 1,2 = ± 1; Ответ: ± 1. Оглавление

Корни квадратного трехчлена ах 2 + bx + c =(-x())-x х 2 – 2 х – 15 =а()-x()-x х 2 – 2 х – 15 = 0 х 1 = - 3; х 2 = 5 (- 3)5 5(+x()-x 3)= Оглавление

(-x())+x 2 х х + 3 =2 2 х х + 3 = 0 х 1 = - 3; х 2 = - ½ (- 3)½(+x( 1)1)1)1)+ 2x2x2x2x 3)= Если корень отрицательный, то минус на минус в трафарете дает плюс (х – ( - 3)) = (х + 3) Если корень дробный и имеется коэффициент а, то целесообразно коэффициент умножить на скобку с дробным корнем. 2(х + 3)(х+ ½ ) =(х + 3)(2 х+ 1) Оглавление

1. Найти квадратный трехчлен; 2. Определить необходимость разложения; записать трафарет; 3. Найти корни, правильно записать в трафарет; 4. Привести в стандартный вид Если корень с минусом, то при подстановке в трафарет минус на минус дает плюс Оглавление

Сократите дробь: 1. Проведите анализ. Чтобы сократить дробь надо __________________________ Зачеркнуть в числителе и знаменателе одинаковые выражения Разложить числитель и знаменатель на множители 2. Анализ видов разложения Числитель: _______________________ Знаменатель: _______________________ ФСУ Группировка Квадр. трехчлен Общий множитель Оглавление

1. Сократить дробь – 3 х 2 – 4 х + 1 = 0, х 1 = 1 х 2 = 1/3 Сократите дробь 2. Найдите корни квадратного трехчлена 3. Разложите знаменатель. Умножьте на 3. Сократите на общий множитель Проведите анализ. Запишите в п.1 основополагающие элементы (слева). п.2 Найдите корни квадратного трехчлена. Занесите в трафарет п.3 Разложите знаменатель. Сократите на общий множитель Числит. и знамен.– Знам.- 11/3 х 3 х - 111/3 Чтобы найти общий множитель, умножьте в числителе скобку с 1/3 на 3 (3 х – 1/3)х 1 Числ. - разложить на множители кв. трехчлен Общий множитель. Оглавление

- 1,45 ( - ;- 1,45) - 1,45 ( 1,45; ;) - 1,45 ( - ;- 1,45] х -2 2 ( - 2;2) х -2 2 [ - 2;2] Луч Интервал Отрезок ( Точка не включенная [ Точка включенная Промежуток записывается слева направо, в сторону увеличения х Оглавление

Неравенства вида kx >b; kx b; kx < b называются линейными 1. Раскрыть скобки; 2. Неизвестные - в одну сторону, свободные члены – в другую; 3. Найти х, разделив b на k Если коэффициент при х положительный, то знак неравенства не изменять Если коэффициент при х отрицательный, то знак неравенства изменить на противоположный Оглавление

Неизвестные – в одну сторону, свободные члены – в другую. Свободный член разделить на коэффициент.. 4(2 – х) – 5 + х > 11 – x; Пункт 1. 8 – 4 х – 5 + х > 11 – x; 3 – 3 х > 11- x Пункт x > 8; Пункт 3. х < - 4; Т.к. – 2<0, то знак неравенства изменить. Ответ: ( - ; - 4) 1. Раскрыть скобки; Ответ записать в виде промежутка. Можно его изобразить. - 4 Неизвестные – в одну сторону, свободные члены – в другую. Свободный член разделить на коэффициент. Оглавление

1. 4(2 – х) – 5(5 – х) 11 – х 8 – 4 х – х 11 – хх 11 – х х 28 х Ответ: [14; ) Так как 4 > 0, умножим обе части на 4 3 х – х - 7 х - 7/3 Ответ: [- 7/3; ) 3. 4(2 – х) 11 – 4 х 8 – 4 х 11 – 4 х – 4 х + 4 х 11 – 8 0 х 3При любом х нуль не может быть больше 3 Решений нет 4. 4(2 – х) 2(3 – 2 х) 8 – 4 х 6 – 4 х – 4 х + 4 х 6 – 8 0 х - 2При любом х нуль больше - 2 х R Оглавление

D>0 D=0 D<0 D>0 D=0 D<0 a>0 a< Оглавление

Пункт 1. Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид (раскрыть скобки, перенести все в одну сторону, привести подобные, расположить в порядке убывания степеней); Пункт 2. Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3 Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5 Пункт 5. Нанести на координатную прямую нули функции и расставить знаки: если коэффициент при х 2 положительный, то знаки идут « +,, +»; если отрицательный, то знаки будут «, +, » ; Пункт 6. Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. Оглавление

Пример 1. х х + 2 > 0; Неравенство в стандартном виде. Неравенство в стандартном виде. f (х)=х х + 2 – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 3 х + 2 = 0 ; х= 1; х= 2. х Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; 1 2 Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. x 2 Ответ: х ( -; 1) (2;) Оглавление

Пример 2. - х х + 4 0; f(x)= -x 2 - 3x + 4. Функция квадратичная, графиком является парабола. а = -1 <0, ветви параболы направлены вниз. f(x)=0; - х 2 - 3x + 4 = 0 ; x 2 + 3x – 4 = 0; x 1 = - 4; x 2 = 1; х х 1 Ответ: [ - 4; 1] Оглавление

1. Перенести все в одну сторону, получив справа 0 2. Направление ветвей 3. Нули, координатная прямая, знаки: «+ - +» или «- + -»

Пример 3. х 2 > 4; х 2 – 4 > 0 f (х)=х – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; -2 2 Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. x 2 Ответ: х ( -; -2) (2;) Оглавление

Пример 3 а. х 2 < 4; х 2 – 4 < 0 f (х)=х – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х 2 – 4 = 0 ; х= ± 2. х Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; -2 2 Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. -2 < x < - 2 Ответ: х ( -2;2) Оглавление

Пример 4. х 2 +4 > 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)=х – функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; нули отсутствуют Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. x R Ответ: х R + Оглавление

Пример 5. -х > 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= - х – функция квадратичная, графиком является парабола; а=-1 < 0 – ветви параболы направлены вниз; f(х)= 0 ; нули отсутствуют Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. решений нет Ответ: решений нет - Оглавление

Пример 6. х x + 4 0; Неравенство в стандартном виде. f (х)= функция квадратичная, графиком является парабола; а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх; f(х)= 0 ; х х + 4 = 0, х = 2 Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид Пункт 2. Записать функцию; Пункт 3. Определить знак коэффициента при х 2, записать, как направлены ветви параболы; Пункт 4. Определить нули функции; Пункт 5. Координатная прямая, нули функции, знаки; Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ. Ответ: + 2 x = 2 Оглавление

Решить систему – значит найти пересечение множеств решений каждого неравенства, т. е. их общую часть. 1. Найти решение каждого неравенства; Все действия в каждом неравенстве вести в системе, используя фигурную скобку; 2. Найти пересечение множеств решения неравенств либо устно, либо используя координатную прямую; Оглавление

Пример 1. Пример x 4 < x < 6 (4;6) ½-4 x Решений нет Оглавление

Пример 3. Пример 4. Т.к. знаменатели числа, привести к целому виду. 64 x 4 < x < 6 (4;6) 64 x Оглавление

х больше большего. х меньше меньшего x 3-6 x -3 Сколько в системе неравенств, столько и «крыш» должно быть на промежутке, являющимся решением системы. Оглавление

Для решения смешанных систем нужно решить каждое неравенство в отдельности и найти пересечение множеств найденных решений. Решить систему неравенств Решим неравенство х 2 – 10 х f(x) = х 2 – 10 х + 9 – функция квадратичная, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, т.к. а=1>0. х 2 – 10 х + 9 = 0, х 1 =1; х 2 = 9 – по теореме обратной теореме Виета. Оглавление

х 19 ветви направлены вверх, т.к. а=1> x 9 Найдем пересечение множеств решений неравенств: х 2 – 10 х /31 x Ответ : Решение 1-го неравенства – промежуточное, результат записывать в виде неравенства Оглавление

a < f(x) < b, 1. Перенести свободные члены в обе части неравенства с противоположным знаком; 2. Разделить обе части неравенства на коэффициент при неизвестном. Если коэффициент положительный, то знаки неравенства не изменяются, если отрицательный, то меняются; 3. Ответ привести в стандартный вид. двойное неравенство, где f(x) – линейная функция. Оглавление

Пример 1. Пример 2. Оглавление

Двойное неравенство можно представить как систему неравенств: Пример. 1< x < 7; [ Ответ: Оглавление