Рунге- Кута Выполнила: Скребцова О.А Студентка 3 курса специальности Руководитель: Николаева С.В Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет технологий и управления им К.Г. Разумовского» Москва 2015 Кафедра «Информационные технологии»

Рунге 1

Карл Дави́д Тольме́ Ру́нге (Carl David Tolmé Runge) (30 августа января 1927) немецкий математик, физик и спектроскопист. Первые годы своей жизни провёл в Гаване, где его отец Юлиус Рунге был датским консулом. Позже семья перебралась в Бремен, где его отец умер (в 1864 году). Рунге 2

Учился в Берлинском университете, в 1880 году получил степень доктора философии по математике, с 1886 года профессор математики в Ганноверском университете. В 1904 году по инициативе Феликса Клейна приглашён в Университет Георга Августа в Гёттингене и возглавил вновь открытую кафедру прикладной математики. Считается исторически первым немецким математиком по этой дисциплине. Рунге 3

Ещё в Ганновере внёс вклад в спектроскопию. Совместно с Г. Кайзером исследовал спектры, интенсивность спектральных линий, различие между искровыми и дуговыми спектрами, установил серии линий для многих элементов, в частности для щелочных и щелочноземельных, открыл ряд закономерностей в их спектрах. В Гёттингене, совместно с М. Куттой разработал методы численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений методы Рунге Куты. Исследовал поведение полиномиальной интерполяции при повышении степени полиномов Феномен Рунге. 4

В области функционального анализа исследовал аппроксимируемость голоморфных функций теорема Рунге. Известна его работа в области векторного анализа Вектор Лапласа Рунге Ленца. Его именем назван Кратер Рунге на Луне. 5

Кута 6

Ма́ртин Вильге́льм Ку́та (нем. Martin Wilhelm Kutta, 3 ноября декабря 1944) немецкий математик. Является соавтором известного семейства методов приближённого интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (методов Рунге Куты). Также известен благодаря аэродинамической поверхности Жуковского Куты и аэродинамическому условию Куты, теорема Жуковского в зарубежной литературе называется теоремой Куты Жуковского. Кута 7

Родился в Пичене, Верхней Силезии (современной Бычине, Польша). Учился в Бреславском университете с 1885 по 1890 годы и продолжил обучение в Мюнхене до 1894 года, где стал ассистентом В. Дика (нем.). С 1898 проводит год в университете Кембриджа. Кута стал профессором в Штутгарте в 1911 году, где продолжал работать до выхода на пенсию в 1935 году. В 1901 году разработал известное семейство методов приближённого решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Умер в Фюрстенфельдбруке, Германия. Кута 8

Методы Рунге-Куты важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой. 9

Формально, методом Рунге Куты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах стандартная схема четвёртого порядка. Иногда при выполнении расчётов с повышенной точностью применяются схемы пятого и шестого порядков. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями. Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять стадий, в схему восьмого порядка входит 11 стадий. Хотя схемы девятого порядка не имеют большой практической значимости, неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения этого порядка точности. Аналогичная задача существует для схем десятого и более высоких порядков. 10

Классический метод Рунге Куты четвёртого порядка Метод Рунге Куты четвёртого порядка столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге Куты. Рассмотрим задачу Коши Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле: 11

Классический метод Рунге Куты четвёртого порядка Вычисление нового значения проходит в четыре стадии: где h- величина шага сетки по x Этот метод имеет четвёртый порядок точности, то есть суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок (ошибка на каждом шаге порядка ) 12

Прямые методы Рунге Куты Семейство прямых методов Рунге Куты является обобщением метода Рунге Куты четвёртого порядка. Оно задаётся формулами где h величина шага сетки по и вычисление нового значения проходит в этапов: 13

Неявные методы Рунге-Куты Все до сих пор упомянутые методы Рунге-Куты являются явными методами. К сожалению, явные методы Рунге-Куты, как правило, непригодны для решения жестких уравнений, из-за малой области абсолютной устойчивости. Этот вопрос особенно важен при решении дифференциальных уравнений в частных производных. Нестабильность явных методов Рунге-Куты мотивирует развитие неявных методов. Неявный метод Рунге-Куты имеет вид где 14

Согласно грамматическим нормам русского языка, фамилия Ку́та склоняется, поэтому говорят: «Метод Ру́нге Ку́ты». Правила русской грамматики предписывают склонять все мужские и женские фамилии, оканчивающиеся на -а, -я, которым предшествует согласный. Единственное исключение фамилии французского происхождения с ударением на последнем слоге типа Дюма́, Золя́. Однако, иногда встречается несклоняемый вариант «Метод Ру́нге Ку́та» Произношение 15