Модул ь «Геом етрия» содержит 8 заданий: в части заданий в части задания. ОГЭ 2016 Подготовка к ОГЭ Задачи 9, 10, 11, 12, 13 Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части заданий, в части задания. ГИА 2013 Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части заданий, в части задания. Код по КЭС Название раздела содержания Число заданий 7.1Геометрические фигуры и их свойства.1 7.2Треугольник 1 7.3Многоугольники 1 7.4Окружность и круг 1 7.5Измерение геометрических величин 1 7.6Векторы на плоскости 0

Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части заданий, в части задания. ГИА 2013 Вашему вниманию представлены тридцать пять прототипов задач 9, 10, 11, 12, 13 ОГЭ – Задача 9. 1, 2, 3, 4, 5, 6, Задача 10. 1, 2, 3, 4, 5, 6, Задача 11. 1, 2, 3, 4, 5, 6, Задача 12. 1, 2, 3, 4, 5, 6, Задача 13. 1, 2, 3, 4, 5, 6,

Ответ: 70 Повторение (2) Повторение (2) 4

Повторение 5 В равнобедренном треугольнике углы при основании равны В треугольнике сумма углов равна 180°

Ответ: 6 6 Повторение (3) Повторение (3) ВСА = 180° - 57° - 117°=6°

Повторение 7 Внешний угол треугольника – это угол, смежный с углом треугольника Сумма смежных углов углов равна 180° В треугольнике сумма углов равна 180°

Ответ: Повторение (3) Повторение (3)

Повторение 9 В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Биссектриса – это луч, который делит угол пополам В треугольнике сумма углов равна 180°

Ответ: Один из углов параллелограмма на 46° больше другого. Найти больший из них. Повторение (2) Повторение (2) А+ D=180° Пусть А=х°, тогда D=(х+46)° х+х+46=180 2 х=134 х=67 D = 267°=134°

Повторение 11 Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Если две параллельные прямые пересечены третьей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°

Ответ: Найти больший угол параллелограмма АВСD. Повторение (2) Повторение (2) DCВ= АCD+ А СВ=23°+49°=72° С+ В=180° В=180°- В=180°-72°=108°

Повторение 13 Если угол разделен на части, то его градусная мера равна сумме градусных мер его частей. В параллелограмме сумма соседних углов равна 180°

Ответ: Повторение (2) Повторение (2) Углы ромба относятся как 3:7. Найти больший угол. 1+ 2=180° Пусть K – коэффициент пропорциональности, тогда 2=(3k)°, 1=(7k)° 3k+7k=180 10k=180 k=18 1=18°7=126°

Повторение 15 В ромбе противоположные стороны параллельны Если две параллельные прямые пересечены третьей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°

Ответ: Повторение (2) Повторение (2) Разность противолежащих углов трапеции равна 68°. Найти больший угол. А+ В=180° Если А=х°, то В = (х+68)° х+х+68=180 2 х= х = 56 В=56°+68°=124° В= С

Повторение 17 В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов, прилежащих боковой стороне трапеции равна 180°.

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 10 (1) Повторение (2) Повторение (2) Ответ: 4 Найти АС. 18 В СА 5 По теореме Пифагора

Повторение 19 Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 10 (2) Повторение (2) Повторение (2) Ответ: Найти АВ. В СА 15 По теореме Пифагора

Повторение 21 Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 10 (3) Повторение (3) Повторение (3) Ответ: 52 Найти АВ. 22 В С А 26 BH = HA, значит АВ = 2 AH. H HA = СH = 26 АВ = 2 26 = 52

Повторение 23 Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является и медианой В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 Если в треугольнике два угла равны, то такой треугольник равнобедренный

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 10 (4) Повторение (2) Повторение (2) Ответ: 117 Найти CH. 24 В А H С BH=HA, зн. АH= ½ AB= По теореме Пифагора в ACH

Повторение 25 Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является и медианой В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 10 (5) Повторение (3) Повторение (3) Ответ: 75 Найти AB. 26 В А H С 120 Проведем высоту CH, получим ВCH. ВCH=60 CВH=30 По теореме Пифагора в BCH

Повторение 27 Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к основанию является биссектрисой и медианой В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30, равен половине гипотенузы В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 10 (6) Повторение (4) Повторение (4) Ответ: 4 Дано: параллелограмм, BE – биссектрисаB, P=10, АЕ:ЕD=1:3. Найти: AD 28 В А D С Е =3 как накрест лежащие при секущей ВЕ 3=2 так как 1=2 по условиюАВ=АЕ Пусть АЕ=х,тогда АВ=х, ЕD=3 х Р=2 (х+4 х) 2 (х+4 х)=10 5 х=5 Х=1 AD= 41=4

Повторение 29 Биссектриса – это луч, который делит угол пополам Периметр многоугольника – это сумма длин всех сторон многоугольника При пересечении двух параллельных прямых накрест лежащие углы равны Если два угла в треугольнике равны, то треугольник - равнобедренный

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 10 (7) Повторение (3) Повторение (3) Ответ: 94 АВСD – трапеция, AH=51, HD=94 Найти среднюю линию трапеции 30 В А D С H ? КМ Проведем СЕAD, получим ABH=CED и прямоугольник BCEH AD=AH+HE+ЕD= E 51+94=145 AH=ЕD=51,BC=HE=HD-ED=94-51=43,

Повторение 31 Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то треугольники равны Если отрезок точкой разделен на части, то его длина равна сумме длин его частей Средняя линия трапеции равна полусумме оснований трапеции

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 11 (1) Повторение (1) Повторение (1) Ответ: 6 Найти площадь треугольника. 32 В С А

Повторение 33 Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 11 (2) Повторение (2) Повторение (2) Ответ: 13,5 АВ=3CH. Найти площадь треугольника АВС 34 В С А 3 H АВ=3CH=3 3=9

Повторение 35 Высота треугольника – это отрезок, проведенный из вершины к противоположной стороне под прямым углом Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 11 (3) Повторение (2) Повторение (2)Ответ: Найти S ABC 36 В АD С 8 5

Повторение 37 Площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 11 (4) Повторение (2) Повторение (2) Ответ: 42 Диагонали ромба равны 12 и 7. Найти площадь ромба. 38 В А D С

Повторение 39 Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей Ромб – это параллелограмм с равными сторонами

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 11 (5) Повторение (5) Повторение (5)Ответ: АС=10. Найти площадь прямоугольника 40 В АD С 60 О АО=ВО=10:2=5 В АОВ, где ВАО= АВО=( ):2= 60 АВ=5 По теореме Пифагора в АВD

Повторение 41 Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Если угол разбит на части, то его градусная мера равна сумме его частей В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов Площадь прямоугольника равна произведению соседних сторон

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 11 (6) Повторение (2) Повторение (2) Ответ: 73,5 ABCD – трапеция. ВС в 2 раза меньше AD. Найти площадь трапеции 42 В АD С 14 H ВС=14:2=7 BC=BH=7

Повторение 43 Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту Трапеция – это четырехугольник, две стороны которого параллельны

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 11 (7) Повторение (4) Повторение (4)Ответ: ABCD – равнобедренная трапеция MK=8, боковая сторона равна 5. Найти площадь трапеции. 44 В АD С H КМ По теореме Пифагора в АВH, где AH=BH=х АВH= =45 ВАH= АВH= 45

Повторение 45 Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту Средняя линия трапеции равна полусумме оснований Если в прямоугольном треугольнике острый угол равен 45, то и другой острый угол равен 45 В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 12 (1) Повторение (3) Повторение (3) Ответ: 45 Найти угол АВС (в градусах) 46 В С А Проведем из произвольной точки луча ВА перпендикуляр до пересечения с лучом ВС Получим прямоугольный равнобедренный треугольник С= В=45 по свойству острых углов прямоугольного треугольника

Повторение (подсказка) 47 Треугольник называется прямоугольным, если в нем имеется прямой угол В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 12 (2) Повторение (4) Повторение (4)Ответ:135 Найти угол АВС (в градусах) 48 В С А Проведем из произвольной точки луча ВС перпендикуляр к прямой АВ до пересечения с ней D Получим прямоугольный равнобедренный треугольник BCD С= В=45 по свойству острых углов прямоугольного треугольника ABС+ CВD=180 как смежные ABС=180 - CВD=135

Повторение (подсказка) 49 В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 Смежными углами называются углы, у которых есть общая сторона, а две другие являются дополнительными лучами Сумма смежных углов равна 180

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 12 (3) Повторение (2) Повторение (2) Ответ: 0,8 Найти синус угла ВАС 50 ВС А 4 3 По теореме Пифагора в АВС

Повторение (подсказка) 51 Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 12 (4) Повторение (2) Повторение (2) Ответ: 0,2 Найти косинус угла ВАС 52 В С А По теореме Пифагора в АВС

Повторение (подсказка) 53 Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 12 (5) Повторение (2) Повторение (2) Ответ: 2,4 Найти тангенс угла ВАС. 54 ВС А По теореме Пифагора в АВС

Повторение (подсказка) 55 Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 12 (6) Повторение (3) Повторение (3) Ответ: 1 56 Повторение (3) Повторение (3) Найти тангенс угла АВС. В С А Проведем из произвольной точки луча ВА перпендикуляр до пересечения с лучом ВС. Получим прямоугольный равнобедренный треугольник С= В=45 по свойству острых углов прямоугольного тр-ка

Повторение (подсказка) 57 В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 Тангенс угла в 45 равен единице

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 12 (7) Повторение (2) Повторение (2) Ответ: 0,6 Найти косинус угла АВС 58 В С А Проведем перпендикуляр из такой точки луча ВА до пересечения с лучом ВС, чтобы в катетах треугольника АВС укладывалось целое число единиц измерения. где АВ=3, АС=4, значит по теореме Пифагора ВС=5 (Пифагоров треугольник) В данном случае единицей измерения стала клетка.

Повторение (подсказка) 59 Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 13 (1) Через любые три различные точки плоскости можно провести единственную прямую. 2. Если угол равен 25, то смежный с ним угол равен Через любую точку плоскости можно провести не менее одной прямой даданетнет даданетнет даданетнет

Повторение (подсказка) 61 Сформулируйте аксиому о взаимном расположении прямой и точек. Каким свойством обладают смежные углы? Сколько прямых можно провести через точку на плоскости? Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна Сумма смежных углов равна 180° Через точку на плоскости можно провести бесконечно много прямых.

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 13 (2) Если угол равен 56, то вертикальный с ним угол равен Существует точка плоскости, через которую можно провести бесконечное количество различных прямых. 3. Через любую точку плоскости можно провести не более двух прямых. даданетнет даданетнет даданетнет

Повторение (подсказка) 63 Сформулируйте свойство вертикальных углов. Сколько прямых можно провести через точку на плоскости? Вертикальные углы равны Через точку на плоскости можно провести бесконечно много прямых.

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 13 (3) Любые три различные прямые проходят через одну общую точку. 2. Существует точка плоскости, не лежащая на данной прямой, через которую нельзя провести на плоскости ни одной прямой, параллельной данной. 3. Если угол равен 47, то смежный с ним угол равен 133. даданетнет даданетнет даданетнет

Повторение (подсказка) 65 Как могут взаимно располагаться три прямых на плоскости? Сформулируйте аксиому параллельных прямых. Сформулируйте свойство смежных углов. Три прямых на плоскости могут иметь одну общую точку, могут пересекаться попарно, могут и не иметь общих точек Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Сумма смежных углов равна 180°.

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 13 (4) Через любые две различные точки плоскости можно провести не более одной прямой. 2. Через любые две различные точки плоскости можно провести не менее одной прямой. 3. Если угол равен 54, то вертикальный с ним угол равен 36. даданетнет даданетнет даданетнет

Повторение (подсказка) 67 Сформулируйте аксиому о взаимном расположении прямой и точек на плоскости. Сформулируйте свойство вертикальных углов Вертикальные углы равны. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 13 (5) Через любую точку плоскости можно провести прямую. 2. Через любую точку плоскости можно провести единственную прямую. 3. Существует точка плоскости, через которую можно провести прямую. даданетнет даданетнет даданетнет

Повторение (подсказка) 69 Сколько прямых можно провести через точку на плоскости? Через точку на плоскости можно провести бесконечно много прямых. Существует ли точка плоскости, через которую нельзя провести прямую? Через любую точку плоскости можно провести прямую.

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 13 (6) Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны. 2. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые перпендикулярны. даданетнет даданетнет даданетнет

Повторение (подсказка) 71 Сформулируйте свойство параллельных прямых относительно соответственных углов Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны Сформулируйте свойство параллельных прямых относительно внутренних односторонних углов. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сума внутренних односторонних углов равна 180°

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» 13 (7) Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних накрест лежащих углов равна 180, то прямые параллельны 2. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны 75 и 105, то прямые параллельны 3. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180, то прямые параллельны даданетнет даданетнет даданетнет

Повторение (подсказка) 73 Сформулируйте признак параллельности двух прямых относительно накрест лежащих углов. Сформулируйте признак параллельности двух прямых относительно соответственных углов. Сформулируйте признак параллельности двух прямых относительно внутренних односторонних углов. Если при пересечении двух прямых третьей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

4. Научитесь выделять и понимать главное в материале, т.к. умение решать задачи является следствием глубоко понятого соответствующего теоретического материала. 5. Совершенствуйте свои вычислительные умения и навыки. Рекомендации ученикам

Модуль «Геометрия» содержит 8 заданий: в части заданий, в части задания. ГИА 2015 Книги по подготовке к ГИА

«ГИА Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов» под редакцией А. Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.: Изд. «Национальное образование», «ГИА Математика: учебно-тренировочные тесты по новому плану ГИА под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов –на-Дону: Легион, 2014.