Кодирование чисел. Системы счисления. Ege16.

Кодирование чисел. Системы счисления. Что нужно знать: чтобы перевести число, скажем, N, из системы счисления с основанием N в десятичную систему, нужно умножить значение каждой цифры на N в степени, равной ее разряду: разряды N = 1·N 4 + 2·N 3 + 3·N 2 + 4·N 1 + 5·N 0 числа вида 2 k записываются в двоичной системе как единица и k нулей; числа вида 2 k -1 записываются в двоичной системе k единиц; число вида 2 N –2 K (при K < N) в двоичной системе записывается как (N– K )единиц и K нулей: получаем, отсюда следует, что

Кодирование чисел. Системы счисления. Сколько единиц в двоичной записи числа – ? Решение: Приведём все числа к степени двойки: (2 2 ) = число 2 N –2 K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей: 4030 – 2014 = и 2 0 дают еще две единицы = 2018 Ответ: 2018

Кодирование чисел. Системы счисления. Сколько единиц в двоичной записи числа – 8 Решение: приведём все числа к степеням двойки: – 8 = (2 2 ) = – 2 3 первое слагаемое дает одну старшую единицу; число 2 N –2 K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей: (*) согласно (*), число – 2 3 запишется как 2012 единиц и 3 нуля или , и 3 нуля; даст ещё одну единицу, всего получается = 2013 единиц Ответ: 2013.

Кодирование чисел. Системы счисления. Сколько единиц в двоичной записи числа (2·10 8 ) ? Решение: Приведём все числа к степеням двойки: 10 8 = 8 10 = 2 3 (2 1 ·2 3 ) 2010 – (2 2 ) = 2 4· · = – Число 2 N –2 K при K < N в двоичной системе записывается как N–K единиц и K нулей: = 4018 единиц; – дает одну единицу; = 4019 Ответ: 4019

Кодирование чисел. Системы счисления. Сколько единиц в двоичной записи числа – Решение: 1.приведём все числа к степеням двойки, разложив 6 как – = (2 2 ) (2 3 ) = – – единиц и 1800 нулей; дает ещё одну единицу, – ещё две, всего получается = 221 единица Ответ: 221

Кодирование чисел. Системы счисления. Сколько единиц в двоичной записи числа – – 80 Решение (способ 1): – – 80 = (2 2 ) 2016 – (2 3 ) 800 – 80= – – переставим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки – – единица; – единицы и 2018 нулей; – =383 единицы и 2018 нулей: …0 1 … 1 0 … …0 1 …10 1 … к-во единиц =

Сколько значащих нулей в двоичной записи числа – – 250? Решение: количество значащих нулей равно количеству всех знаков в двоичной записи числа (его длине!) минус количество единиц; приведём все числа к степеням двойки: 250 = 256 – 4 – 2 = 2 8 – 2 2 – – – 250 = (2 2 ) (2 3 ) 512 – – = – – – 1 единица и 1536 нулей, т.е., состоит из 1537 знаков; вспомним, что в выражении – – стоит два знака «минус» подряд, что не позволяет сразу использовать формулу; вспомним, что, тогда – = – ; получаем – – ; общее число единиц равно 1 + (1024 – 129) + (128 – 8) = 1018; таким образом, количество значащих нулей равно 1537 – 1018 = 519 Кодирование чисел. Системы счисления.

Теория + задания для тренировки: Сайт «К урокам» файл «ege16-1» , , ,

Кодирование чисел. Системы счисления. Сколько единиц в двоичной записи числа – – 80 Решение (способ 2): 1. разложим 80 как – – 80 = (2 2 ) 2016 – (2 3 ) 800 – ( ) = – – 2 6 – переставим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки – – 2 6 – – единицы и 2018 нулей; единица; – =383 единицы и 2018 нулей: 6. выделим из этого значения последнюю единицу со следующими 2018 нулями как отдельное слагаемое (число ): где число K содержит 382 единицы в старших разрядах;

Кодирование чисел. Системы счисления. число K содержит 382 единицы в старших разрядах; таки образом, интересующее нас число равно 7. число – 2 6 запишется как 2012 единиц и 6 нулей; также выделим последнюю единицу с последующими нулями как отдельное слагаемое: где число L содержит 2011 единиц; 8. двоичная запись числа 2 6 – 2 4 содержит 2 единицы; 9. общее число единиц равно = 2395 Ответ: – – 2 6 – 2 4

Кодирование чисел. Системы счисления. Сколько единиц в двоичной записи числа – – 80 Способ 2. 1.приведём все числа к степеням двойки, разложив 80 как (2 2 ) 2016 – (2 3 ) 800 – 2 6 – 2 4 = – – 2 6 – перестроим слагаемые в порядке уменьшения степеней двойки – – 2 6 – вспомним, что 2 N + 2 N = 2*2 N = 2 N+1, получим 2 N = 2 N+1 – 2 N, откуда следует, что -2 N = -2 N N представим (– ) = – и (– 2 6 ) = – , получим: – – – содержит 1 единицу; – содержит 381 единицу ( ); – 2 7 содержит 2011 единиц, – 2 4 содержит 2 единицы; 9. позиции единиц во всех этих слагаемых не совпадают, поэтому общее количество единиц равно = 2395 Ответ: 2395