Лекция 7.5 Смещение в оценках коэффициентов, вызванное не включением существенных переменных

Истинная модель Оцененная модель Ошибки спецификации I: невключение существенной переменной 1

Истинная модель Оцененная модель Правильная спецификация, все в порядке 2

Ошибки спецификации I: невключение существенной переменной Истинная модель Оцененная модель Правильная спецификация, все в порядке 3

Ошибки спецификации I: невключение существенной переменной Истинная модель Оцененная модель 4 Оценки коэффициентов будут смещенными

Ошибки спецификации I: невключение существенной переменной 5 Формула для смещения выделена желтым цветом.

Ошибки спецификации I: невключение существенной переменной Y X3X3 X2X2 Непосредственный эффект переменной X 2, при постоянной X 3 эффект X 3 Kажущийся эффект переменной X 2, действующей в качестве заменителя для X

7 Вывод формулы для смещения

8

9

10 Вывод формулы для смещения

11 Оценки стандартных отклонений при невключении существенной переменной тоже являются смещенными, t и F – статистики рассчитываются неправильно.

. reg S ASVABC SM Source | SS df MS Number of obs = F( 2, 537) = Model | Prob > F = Residual | R-squared = Adj R-squared = Total | Root MSE = S | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ASVABC | SM | _cons | Пример 1

. reg S ASVABC SM Source | SS df MS Number of obs = F( 2, 537) = Model | Prob > F = Residual | R-squared = Adj R-squared = Total | Root MSE = S | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ASVABC | SM | _cons | Пример 1 Знак произведения зависит от двух множителей.

. reg S ASVABC SM Source | SS df MS Number of obs = F( 2, 537) = Model | Prob > F = Residual | R-squared = Adj R-squared = Total | Root MSE = S | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ASVABC | SM | _cons | Пример 1 Оценка коэффициента β 3 положительна.

. reg S ASVABC SM Source | SS df MS Number of obs = F( 2, 537) = Model | Prob > F = Residual | R-squared = Adj R-squared = Total | Root MSE = S | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ASVABC | SM | _cons | Пример 1 Знак второго множителя в формуле для смещения совпадает со знаком коэффициента корреляции включенного и пропущенного фактора.. cor SM ASVABC (obs=540) | SM ASVABC SM| ASVABC|

. reg S ASVABC SM S | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ASVABC | SM | _cons | reg S ASVABC S | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ASVABC | _cons | Таким образом, знак смещения – положительный, что и наблюдается в реальности. Пример 1

. reg S SM Source | SS df MS Number of obs = F( 1, 538) = Model | Prob > F = Residual | R-squared = Adj R-squared = Total | Root MSE = S | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] SM | _cons | Предположим, что в уравнение регрессии не будет включена переменная ASVABC. Тогда коэффициент при переменной SM будет смещен. Как и в предыдущем случае, можно показать, что это смещение будет положительным, что и наблюдается. Пример 1

.reg LGEARN S EXP Source | SS df MS Number of obs = F( 2, 537) = Model | Prob > F = Residual | R-squared = Adj R-squared = Total | Root MSE = LGEARN | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] S | EXP | _cons | Пример 2

. reg LGEARN S EXP Source | SS df MS Number of obs = F( 2, 537) = Model | Prob > F = Residual | R-squared = Adj R-squared = Total | Root MSE = LGEARN | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] S | EXP | _cons | Пример 2 Если опущена переменная EXP, то смещение коэффициента перед переменной S будет отрицательным, т.к. оценка коэффициента β 2 положительная, а коэффициент корреляции S и EXP отрицательный.. cor S EXP (obs=540) | S EXP S| EXP|

reg LGEARN S EXP Source | SS df MS Number of obs = F( 2, 537) = Model | Prob > F = Residual | R-squared = Adj R-squared = Total | Root MSE = LGEARN | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] S | EXP | _cons | Пример 2 Аналогично, если опущена переменная S, то оценка коэффициента перед переменной EXP будет смещена вниз.. cor S EXP (obs=540) | S EXP S| EXP|

. reg LGEARN S EXP LGEARN | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] S | EXP | _cons | reg LGEARN S LGEARN | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] S | _cons | reg LGEARN EXP LGEARN | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] EXP | _cons | Смещение в случае невключения одной из переменных S или EXP действительно является отрицательным. Пример 2