чувствительная зависимость от начальных условий (эффект бабочки) : d(0) d(t)~d(0)e ht Вследствие финитности происходит «перемешивание» траекторий неустойчивые траектории плотны; транзитивность ( U,V n 0 : f (n) (U) V ). Хаос: Допустим, что система задана обыкновенными д/у

Проблема заключается во введении внешних возмущений G, для которых фазовый поток F t (x,G), порождаемый возмущенной динамической системой стремится к некоторому выбранному подмножеству X(G) фазового пространства: Проблема заключается во введении внешних возмущений G, для которых фазовый поток F t (x,G), порождаемый возмущенной динамической системой стремится к некоторому выбранному подмножеству X(G) фазового пространства: G После возмущения подмножество X(G) может быть аттрактором или неустойчивым множеством. В послед- нем случае возмущение G модифицирует систему так, что фазовые траектории подходят к X(G) и остаются в его малой окрестности под действием G. X(G)X(G)

Реализация силового возмущения весьма сложна: Биолигич. системы Стерилизация части особей или введение новых задавлено С другой стороны, силовой контроль, как правило, ведет к требуемому результату, т.к. хаотическое поведение буквально может быть «задавлено» внешней силой. Химич. системы Добавление (изъятие) веществ Параметрическое возмущение

Инвариантное множество диффеоморфизма компактного многообразия называется гиперболическим аттрактором если – аттрактор и гиперболическое множество. «Глубокий» хаос WSWS WUWU

Возмущение динамических систем вовлекает учет внешних определенных аддитивных и/или мультипликативных составляющих. Внешние параметрические возмущения: Динамическая система: где 2. Свойства возмущаемых систем

Рассмотрим периодические возмущения: В этом случае система имеет форму:

Возмущения с периодом

Хаотический аттрактор вырождается в предельный цикл. Основной результат [Loskutov ]. Для определенного класса динамических систем существует подмножество такое, что если, то возмущенная хаотическая система обладает устойчивым предельным циклом.

Таким образом, основной результат состоит в следующем:

Теорема [Loskutov & Rybalko, 1998]. Допустим, что и возмущенное отображение T при имеет устойчивый цикл периода t. Тогда, если где i=1,2,...,t, тогда это отображение также имеет устойчивый t-периодический цикл при и Устойчивость по отношению к возмущению.