Содержание 1.Определение. Теорема Пифагора.Определение. Теорема Пифагора. 2. Основные пифагоровы треугольники. Определение.Основные пифагоровы треугольники. Определение. 3. Длины сторон основного пифагорова треугольника и делимость.Длины сторон основного пифагорова треугольника и делимость. 4. Формулы нахождения длин сторон основных пифагоровых треугольников. Таблица.Формулы нахождения длин сторон основных пифагоровых треугольников. Таблица. 5. Существование пифагорова треугольника с произвольным катетом, длина которого больше двух.Существование пифагорова треугольника с произвольным катетом, длина которого больше двух. 6. Пифагоровы треугольники, у которых одна из сторон является полным квадратом.Пифагоровы треугольники, у которых одна из сторон является полным квадратом.

Пифагоровым треугольником называется прямоугольный треугольник, длины сторон которого выражаются натуральными числами Определение: Египетский треугольник

Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. в а с

Теорема :1 В Пифагоровом треугольнике длины катетов x и y являются взаимно простыми числами тогда и только тогда, когда не существует ему подобного Пифагорова треугольника с меньшими катетами.,, Доказательство: 1. Необходимость. Пусть х и у взаимно простые числа. Докажем, что не существует подобного ему Пифагорова треугольника с меньшими катетами. Предположим, что треугольник (а, b, с) подобен треугольнику (x, y, z) и что а < x, b < y. Из подобия (а, b, с) и (x, y, z) имеем: x : y = a : b. Так как дробь х/y не сократима (x и y - взаимно простые числа по условию), то а x и b y, что противоречит предположению.

Достаточность Предположим что x и y не взаимно простые числа, тогда у них существует наибольший общий делитель d > 1. Можно выразить x и y как x = dx 1 и y = dy 1, где x 1 и y 1 взаимно простые числа. z 2 = x 2 + y 2 = (dx 1 ) 2 + (dy 1 ) 2 = d 2 ( x y 2 1 ) Из полученного равенства следует, что z 2 имеет d 2, своим делителем, а следовательно,d является делителем z, z = dz 1, где z 1 - натуральное число. x = dx 1, y = dy 1,, z = dz 1. При сокращении на d 2 получаем: x y 2 1 = z 2 1 Из этого равенства следует, что треугольник (x 1,y 1,z 1 ) -треугольник Пифагора со сторонами меньшими соответственных сторон треугольника (x, y, z) и ему подобный. Итак: а) числа, выражающие длины катетов наименьшего из подобных пифагоровых треугольников - числа взаимно простые; б) из наименьшего пифагорова треугольника можно получить все ему подобные, увеличивая его стороны в целое число раз. Пифагоров треугольник со взаимно простыми катетами называется основным.

Теорема 2 В основном пифагоровом треугольнике длины катетов имеют разную чётность. Доказательство: а) Так как длины катетов взаимно просты, то они не могут быть оба чётными. б) Пусть они оба нечётные, а = 2 к+1; в = 2n+1 а 2 + в 2 = (2 к+1) 2 + (2n+1) 2 = 4 к 2 +4 к+1+ 4n 2 +4n+1 = 4(k 2 + n 2 + k + n) + 2, (k 2 + n 2 + k + n ) делится на 2; значит а 2 + в 2 = 8t + 2, с 2 = 8t + 2, делится на 2, а на 4 не делится. Значит оба катета нечетными быть не могут. Из а) и б) следует, что длины катетов имеют разную чётность. Определение Пифагоров треугольник со взаимно простыми катетами называется основным.

Лемма 1 Квадрат целого числа при делении на 3 не может давать остаток 2. Доказательство: Пусть а = 3n, тогда а 2 = 9n 2. Пусть а = 3n+1, тогда а 2 = 9n 2 + 6n + 1. Пусть а = 3n+2, тогда а 2 = 9n 2 +12n+ 4. Теорема 3 В основном Пифагоровом треугольнике ровно один катет делится на 3. Доказательство: Предположим, что ни одно из чисел x, y не делится на 3, т.е. x = 3k ± 1 ; y = 3l ± 1, где k и l - целые числа. z 2 = x 2 +y 2 = 3(3k 2 + 3l 2 ± 2k ± 2l) + 2, что противоречит лемме 1. Оба катета на 3 делиться не могут, т. к. они взаимно просты.

Теорема 4 В основном Пифагоровом треугольнике ровно один катет делится на 4. Доказательство: Пусть y = 2n,тогда x = 2k+1; z = 2m+1 4n 2 = 4(k+m+1)(k-m) ; n 2 = (k+m+1)(m-k) Значит n 2 делится на 2, значит n делится на 2, а 2n делится на 4. Таким образом y делится на 4. х и z на 4 не делятся, т. к. они нечетные, получили то, ч.т.д.

Лемма 2 Квадрат целого числа, не кратного пяти, при делении на 5 дает остаток 1 или 4. Доказательство. Пусть a=5k+1, a 2 =25k 2 +10k+1 (ост 1) a=5k+2; a 2 =25k 2 +20k+4 (ост 4) а=5k+3; a 2 =25k 2 +30k+ 9 (ост 4) a=5k+4; a 2 =25k 2 +40k+16 (ост 1) Теорема 5 В основном пифагоровом треугольнике ровно одна сторона делится на 5. Доказательство. Пусть в треугольнике (x, y, z) ни одна сторона не делится на 5 z 2 =x 2 +y 2 Если x 2 и y 2 дают при делении на 5 остаток 1, то z 2 остаток 2, что невозможно. Если x 2 и y 2 дают при делении на 5 остаток 4, то z 2 остаток 3, что невозможно. Если x 2 и y 2 дает разные остатки при делении на 5, то z 2 делится на 5 и z делится на 5, что противоречит предположению. Две стороны делиться на 5 не могут, т.к. треугольник основной.

1. x = m 2 -n 2 y = 2mn z = m 2 +n 2 где m и n натуральные числа 2. Правило Пифагора x = 2n+1 y = 2n(n+1) z = 2n 2 +2n+1 (2n+1) 2 +(2n 2 +2n) 2 =(2n 2 +2n+1) 2 n1 катет 2n+1 2 катет 2n(n+1) Гипотенуза 2n 2 +2n

Лемма 3 Если произведение двух взаимно простых чисел является квадратом натурального числа, то каждое из них тоже является квадратом натурального числа. Доказательство: Пусть n 2 = m n, где m и n взаимно простые числа. Пусть m=p 1 l1 p 2 l2 …p k lk n = q 1 f1 q 2 f2 …q t ft, где p j q g n 2 =mn, следовательно все l i и f j – чётные числа, а значит m и k является квадратами натуральных чисел, ч.т.д

Теорема 5 Все основные пифагоровы треугольники, у которых у является четным числом, получаются из формул : x = l 2 - t 2, у = 2lt, z = l 2 + t 2, (l>t), где l и t все пары взаимно простых чисел, из которых одно (безразлично какое) является четным, а другое нечетным. Каждая основная тройка (x, y, z), где y является четным числом, определяется этим способом однозначно. Доказательство: Пусть y - чётное число, тогда x и z оба нечетные, y 2 = (z - x)(z + x), z = k + m x = k – m Докажем, что k и m взаимно просты. Пусть k делится на d и m делится на d, тогда z делится на d и x делится на d, значит y делится на d,значит треугольник (x, y, z) не основной. y = 2n, 4n 2 = 2k × 2m, n 2 = km, значит по лемме 2 k = l 2, m = t 2, где l и t натуральные числа. n = lt, значит y = 2lt, x = l 2 - t 2, z = l 2 + t 2.

Таблица двадцати одного основного пифагорова треугольника, составленная по формулам l t t X Y Z Площадь

Теорема 6 Для существования пифагорова треугольника с катетом равным n, необходимо и достаточно, чтобы n было целым числом, большим 2. Доказательство: Необходимость Пусть а 2 = с 2 - b 2 = (c - b)(c + b), причём c и b являются целыми числами, с > b, затем b 1, c 2, c – b 1, а также c + b 3, a 2 3, поэтому а не может быть равным единице. Не может также а быть равным двум, так как тогда бы существовало равенство: 4 = (c - b)(c + b). Это равенство невозможно, действительно, если c – b 1, c + b 3, то c – b = 1 c + b = 4, следовательно 2 с = 5 и с не может быть натуральным числом. Итак, каждый из катетов всякого пифагорова треугольника больше двух. Достаточность Если n – нечетное число, большее 2, то n 2 + ((n 2 – 1)/2) 2 = ((n 2 + 1)/2) 2 Если n - четное число, большее 2, то n 2 + ((n 2 /4 – 1)) 2 = ((n 2 /4 + 1)) 2

Теорема 7 Существует бесконечно много основных пифагоровых треугольников, у которых один из катетов является квадратом натурального числа. Пусть (p, n, m) - основной пифагоров треугольник, где n четно, а p и m нечетны, причем m и n взаимно просты. Составим новый основной пифагоров треугольник (x, y, z), где х = m 2 - n 2 = p 2 ; z = m 2 + n 2 ; тогда z 2 – x 2 = 4m 2 n 2, то есть y = 2mn. Следовательно, x (нечетный катет треугольника (x, y, z)) - квадрат натурального числа. Таким образом, из основного треугольника (3, 4, 5) получаем основной треугольник (9, 40, 41), где 9 = 3 2, а из основного треугольника (5, 12, 13), получаем основной треугольник (25, 312, 313), где 25 = 5 2.

Теорема 8 Существует бесконечно много пифагоровых треугольников, у которых гипотенуза – полный квадрат. Пусть (m, n, p), где n<m<p - произвольный основной пифагоров треугольник. Одно из чисел m и n четно, а другое нечетно, причем числа m и n взаимно простые. Составим новый основной пифагоров треугольник (x, y, z), где x, y, z находятся по формуле x = m 2 -n 2 z= m 2 +n 2 =p 2 Следовательно гипотенуза – квадрат натурального числа. Из основного треугольника (3,4,5) получаем основной треугольник (7, 24, 25) (5, 12, 13) получаем основной треугольник (119, 120, 169), где 169=13 2

Теорема Ферма: Нет Пифагоровых треугольников, у которых хотя бы 2 стороны были квадратами.

В. Серпинский « Пифагоровы Треугольники » Москва 1959 г. Работу выполнила Калюжная Маргарита 9 класс МАОУ ДОД « ЦДОД « Компьютерный центр » Руководитель Рысева Л. Н.