ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ Задачи на разрезание

Задача 1 Условие Решение Задача 2 Условие Решение

Задача 1 На какое количество квадратов (не обязательно одинаковых) можно разрезать данный квадрат? ? ? Назад Решение С В D А

Лемма 1 Если отрезок AB лежит на прямой «l», то по одну сторону от этой прямой можно построить ровно один квадрат, в котором отрезок АВ является стороной. Лемма 1 Если отрезок AB лежит на прямой «l», то по одну сторону от этой прямой можно построить ровно один квадрат, в котором отрезок АВ является стороной. Существование Через точки А и В по одну сторону от «l» проводим лучи АК и ВМ, перпендикулярные «l» На луче АК откладываем AD=АВ На луче ВМ откладываем ВС=АВ Точки D и C соединяем. ABCD квадрат Задача 1 Назад l AВ KM D C Далее

Единственность Пусть существует квадрат ABC 1 D 1 по туже сторону от прямой «l», что и ABCD. Сторона ВС 1 лежит на луче ВМ, сторона АD 1 лежит на луче АК, т.к. через одну точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной. Задача 1 l AВ KM D C Назад Далее Лемма 1 Если отрезок AB лежит на прямой «l», то по одну сторону от этой прямой можно построить ровно один квадрат, в котором отрезок АВ является стороной. Лемма 1 Если отрезок AB лежит на прямой «l», то по одну сторону от этой прямой можно построить ровно один квадрат, в котором отрезок АВ является стороной.

Единственность Точка С1 совпадает с точкой С, точка D1 совпадет с точкой D. Единственность доказана. Задача 1 l AВ KM D C Назад Решение Лемма 1 Если отрезок AB лежит на прямой «l», то по одну сторону от этой прямой можно построить ровно один квадрат, в котором отрезок АВ является стороной. Лемма 1 Если отрезок AB лежит на прямой «l», то по одну сторону от этой прямой можно построить ровно один квадрат, в котором отрезок АВ является стороной.

Задача 1 Квадрат нельзя разрезать на 2 квадрата Допустим, что квадрат АВCD можно разрезать на два квадрата. В таком случае один из этих квадратов будет содержать две вершины исходного квадрата ABCD (согласно принципу Дирихле), то есть его сторону. По раннее доказанной лемме 1 по одну сторону от прямой можно построить ровно один квадрат в котором данный отрезок является стороной, значит этот квадрат совпадает с исходным. Назад Далее

Задача 1 Квадрат нельзя разрезать на 3 квадрата Допустим, что квадрат АВCD можно разрезать на три квадрата. В таком случае один из этих квадратов будет содержать две вершины исходного квадрата ABCD (согласно принципу Дирихле), то есть его сторону. По раннее доказанной лемме 1 по одну сторону от прямой можно построить ровно один квадрат в котором данный отрезок является стороной, значит этот квадрат совпадает с исходным. Назад Далее

Задача 1 Квадрат нельзя разрезать на 5 квадратов. Допустим, что квадрат АВCD можно разрезать на 5 квадратов. Тогда согласно принципу Дирихле существует квадрат, ни одна из вершин которого не совпадает с вершиной исходного. Назад Далее

Разрезание квадрата на пять квадратов Если пятый квадрат будет соприкасаться с одной из сторон, то квадраты, имеющие общие точки с этой стороной, должны быть равны этому квадрату, иначе мы получим ступенчатую структуру и разделить оставшуюся часть на два квадрата нельзя. Задача 1 1/3 Назад Далее

Разрезание квадрата на пять квадратов В этом случае каждая из сторон трёх квадратов будет равна 1/3. Оставшуюся часть на два квадрата разрезать нельзя. Задача 1 1/3 2/3 1/2 Назад Далее

Разрезание квадрата на пять квадратов Если пятый квадрат построить не будет иметь общих точек ни с одной из сторон исходного, то оставшаяся фигура будет ступенчатого вида и разделить её на четыре равных квадрата нельзя. Задача 1 Назад Далее

Задача 1 Квадрат можно разрезать на любое количество квадратов, кроме двух, трёх и пяти. Доказатель ство ? ? С В D А Назад

Деление квадрата на количество квадратов N= 3 k+ 1 Делим на четыре квадрата, затем нужное количество квадратов опять на четыре квадрата. Задача 1 Назад Далее

Деление квадрата на количество квадратов N= 3 k Делим на шесть квадратов, затем нужное количество квадратов на четыре квадрата. Задача 1 Назад Далее

Деление квадрата на количество квадратов N= 3 k+ 2 Делим на восемь квадратов, затем нужное количество квадратов на четыре квадрата. Задача 1 Назад В начало

Задача 2 На какое количество правильных треугольников (не обязательно одинаковых) можно разрезать данный правильный треугольник? ? ? Назад Далее

Лемма 2 Если отрезок AB лежит на прямой «l», то по одну сторону от этой прямой можно построить ровно один треугольник, в котором отрезок АВ является стороной. Лемма 2 Если отрезок AB лежит на прямой «l», то по одну сторону от этой прямой можно построить ровно один треугольник, в котором отрезок АВ является стороной. Существование Строим правильный треугольник по его стороне. Задача 2 Назад l AВ C Далее

Лемма 2 Если отрезок AB лежит на прямой «l», то по одну сторону от этой прямой можно построить ровно один треугольник, в котором отрезок АВ является стороной. Лемма 2 Если отрезок AB лежит на прямой «l», то по одну сторону от этой прямой можно построить ровно один треугольник, в котором отрезок АВ является стороной. Единственность Пусть существует треугольник ABC1 по туже сторону от прямой «l», что и ABC. Основание у треугольников будет общее, а раз это правильные треугольники, то и их стороны совпадут. Задача 2 Назад l AВ C Далее С1С1

Задача 2 Треугольник нельзя разрезать на 2 треугольника Допустим, что треугольник АВC можно разрезать на два треугольника. В таком случае один из этих треугольников будет содержать две вершины исходного треугольника ABC (согласно принципу Дирихле), то есть его сторону. По раннее доказанной лемме 2 по одну сторону от прямой можно построить ровно один треугольник в котором данный отрезок является стороной, значит этот треугольник совпадает с исходным. Назад Далее

Треугольник нельзя разрезать на 3 треугольника Допустим, что треугольник АВC можно разрезать на три треугольника. В таком случае, после отрезания двух правильных треугольника мы получим четырёхугольник. Задача 2 А С В Назад Далее

Задача 2 Треугольник нельзя разрезать на 5 треугольников Допустим, что треугольник АВC можно разрезать на 5 треугольников. Тогда согласно принципу Дирихле существует треугольник, ни одна из вершин которого не совпадает с вершиной исходного. Назад Далее

Треугольник нельзя разрезать на 5 треугольников В первом случае мы разрежем на три треугольника так, как на картинке, а оставшаяся часть будет шестиугольником, который поделить на 2 правильных треугольника нельзя. Задача 2 А С В Назад Далее

Треугольник нельзя разрезать на 5 треугольников Во втором случае мы разрежем на три треугольника так, как на картинке, а оставшаяся часть будет пятиугольником, который поделить на 2 правильных треугольника нельзя. Задача 2 А С В Назад Далее

Треугольник нельзя разрезать на 5 треугольников Во третьем случае мы разрежем на три треугольника так, как на картинке, а оставшаяся часть будет правильным треугольником, который, как мы доказали ранее, поделить на 2 правильных треугольника нельзя. Задача 2 А С В Назад Далее

Задача 2 Треугольник можно разрезать на любое количество правильных треугольников (не обязательно одинаковых), кроме двух, трёх и пяти. ? ? Назад Далее

Деление треугольника на количество треугольников N= 3 n+ 1 Делим на четыре треугольника, затем нужное количество треугольников опять на четыре треугольника. Задача 2 Назад Далее

Деление треугольника на количество треугольников N= 3 n Делим на шесть треугольников, затем нужное количество треугольников опять на четыре треугольника. Задача 2 Назад Далее

Деление треугольника на количество треугольников N= 3 n+ 2 Делим на восемь треугольников, затем нужное количество треугольников на четыре треугольника. Задача 2 Назад Вывод

Интересные факты, полученные в процессе решения задач При делении сторон квадрата на «n» равных частей получается количество квадратов, равное n 2. При делении сторон правильного треугольника на «n» равных частей получается количество правильных треугольников, равное n 2. Назад Далее n2n2 n2n2

НАД ИССЛЕДОВАНИЕМ РАБОТАЛИ УЧАЩИЕСЯ 8 КЛАССА: ЛИСИН ФЁДОР И КУЗЬМИН НИКОЛАЙ РУКОВОДИТЕЛЬ ПРОЕКТА: РЫСЕВА ЛЮДМИЛА НИКОЛАЕВНА В начало