Физические основы естествознания Василий Семёнович Бескин Лекция 2

Гравитация и астрофизика

Ньютоновский предел Из курса средней школы мы знаем, что

Скалярный потенциал Ускорение не зависит от массы Закон движения выглядит одинаково Справа налево и слева направо Теория Всемирного тяготения скалярная

Безусловно, правильная теория Предсказание существования планет Правильно описывает движение спутников etc.

Что не так? Наблюдения! Движение перигелия Меркурия не описывается законами Всемирного тяготения. Теория Всемирного тяготения не Лоренц-инвариантна.

Лоренц-инвариантность

Школьный уровень Готовые решения уравнений (многие из которых даже не формулируются)

Научный уровень Формулировка уравнений и их решение

Научный уровень Формулировка уравнений и их решение Уравнение второго порядка Необходимы ДВА начальных условия

Два важнейших момента Удобство инвариантов Интегральная запись законов сохранения

Научный уровень Это вершина или нет? НЕТ! Вершина – принцип наименьшего действия

Принцип наименьшего действия Принцип Ферма x 1 x 2 x у

Принцип наименьшего действия П.Л.Мопертюи́ ( ) Л.Эйлер ( ) Ж.Л.Лагранж ( )

Принцип наименьшего действия У.Гамильтон ( ) Ж.Л.Лагранж ( ) координата x импульс p = m v скорость v

Принцип наименьшего действия У.Гамильтон ( ) Ж.Л.Лагранж ( ) координата x импульс скорость

Принцип наименьшего действия На траектории движения действие минимально. Тогда из условия получаем t 1 t 2 t x2x2 x1x1

Принцип наименьшего действия Пример

Промежуточный результат Правильная теория должна удовлетворять некоторому набору фундаментальных свойств (аксиом). Общая теория относительности на самом деле не является единственно возможной теорией гравитации (обобщая - теорией поля). Возникает вопрос, можно ли определить вид теории (т.е. вид уравнений, описывающих ее основные законы), исходя лишь из общих принципов, т.е. полностью отвлекаясь от наблюдений.

Промежуточный результат Правильная теория должна удовлетворять некоторому набору фундаментальных свойств (аксиом). Одна из них – Лоренц-инвариантность. Общая теория относительности на самом деле не является единственно возможной теорией гравитации (обобщая – теорией поля). В пределе слабых полей и малых скоростей – старая теория. Большую роль должны играть инварианты.

Кинетическая энергия А можно ли:

Кинетическая энергия А можно ли: ?

Кинетическая энергия А можно ли:

Кинетическая энергия А можно ли:

Появляются тензоры Квадратичные формы кинетическая энергия метрика Линейные зависимости Закон Гука Закон Ома

Преобразование тензоров Определение, а не свойство!

Закон Ома Однородная среда Холловский ток

Инварианты тензоров ''квадрат'' симметричного тензора сумма диагональных элементов - т.н. ''след'' (по-немецки ''шпур'' Spur)

Задача Показать, что квадрат матрицы не зависит от угла

Пример – квадратная решетка

Пример – стандартная модель

Пример – (не)стандартная модель

Оператор набла вектор скаляр

Важные выводы Общие принципы (симметрия, лоренц-инвариантность) могут помочь ограничить теорию, но в общем случае не определяют ее до конца. При расширении в теорию приходится вводить размерные константы (масса M, скорость c ), величины которых могут быть определены только из наблюдений. В предельном случае (в рассмотренном выше примере - при нерелятивистских скоростях v << c ) теория должна сводиться к известной. Одно из возможных обобщений – переход от скаляров (чисел) к тензорам (таблицам).