Проценты вокруг нас Мастер-класс учителя математики общеобразовательной средней школы- гимназии 2 г. Актобе Власовой Натальи Николаевны

Цели: Формировать способность учащихся к исследованию задач на концентрацию Развивать способность к планированию и организации самостоятельной работы Стимулировать познавательный интерес к математике Подготовка учащихся к ЕНТ

Задачи, связанные с понятием концентрация и процентное содержание, в которых речь идет о сплавах, растворах и смесях, получающихся при сплавлении или смешивании различных веществ, являются особенно трудными для учащихся При решении таких задач учитывается что - если смешиваются два раствора, объем которых х и у, то получившаяся смесь имеет объем х + у. - получившиеся смеси и сплавы имеют однородную консистенцию

В смесях и растворах содержится некоторый объем чистого вещества. Отношение объема чистого вещества к объему всего раствора называется объемной концентрацией (Содержание чистого вещества в единице объема) Концентрация, выраженная в процентах, называется процентным содержанием

Задача 1. Сколько надо добавить воды (в граммах) к 35 г сухого картофельного пюре с содержанием 8% воды, чтобы получить пюре с содержанием 86% воды?

Решение В 35 г пюре содержится 35 · 0,08 = 2,8 г воды и ,8 = 32,2 г сухого вещества. Добавим в пюре х г воды, тогда всего пюре станет (35 + х) г, воды в нём - (2,8 + х) г. Заметьте, что сухого вещества останется по- прежнему 32,2 г. Составим пропорцию: 35 + x 100% 2,8 + x 86% Решим пропорцию: (35 + x)·86 = (2,8 + x)·100 Получим: x = x; 2730 = 14x; x = 195. Ответ: 195 грамм воды

Задача 2 Полученный при сушке винограда изюм составляет 32% всей массы винограда. Из какого количества винограда получится 2 кг изюма?

Решение 2 кг изюма 32% х кг винограда 100% По свойству пропорции х=2*100/32 = 6,25

Задача 3 Морская вода содержит 5% (по массе) соли. Сколько килограммов пресной воды нужно прибавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составляло 2%?

Решение Найдем количество соли в морской воде: 40 кг*5%=40*5/100= 2 кг. Пусть х кг количество чистой воды, которой надо добавить. Составляем пропорцию 40+х кг 100% 2 кг 2% 2(40+х) =2*100 х=60 кг( воды)

Задача 4 Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Решение Так как процентное содержание меди в сплаве равно 45 %, то масса меди в первоначальном сплаве m = 0,45 × 12 = 5,4 кг (где 0,45 – концентрация меди в сплаве). m можно вычислить при помощи пропорции: 12 кг - 100% m кг - 45% Пусть x кг олова надо добавить к сплаву. Тогда 12+х – масса нового сплава. И так как масса меди в первоначальном сплаве равна 5,4 кг, то имеем пропорцию: 12 + x - 100% 5,4 - 40% Составим уравнение: 40 (12 + х ) = 100 · 5,4 решая его, получаем х=1,5 кг. Ответ: нужно добавить 1,5 кг чистого олова.

Задача 5 Имеются сталь двух сортов один из которых содержит 5%, а другой 10% никеля. Сколько тонн каждого из этих сортов нужно взять, чтобы получить сплав, содержащий 8% никеля, если во втором сплаве на 4 т больше, чем в первом?

Решение Первого сплава возьмем х тонн, а второго у тонн. В х тоннах первого сплава стали содержится 0,05 х тонн никеля, а во втором 0,1 у никеля. Получим сплав массой (х+у) тонн, в котором 0,08(х+у) тонн никеля. Система: у - х = 4 0,05 х + 0,1 у = 0,08(х+у) Из первого ур-ия у=х+4. Подставим во второе и решим, найдем х...

Задача 6 Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300 г, содержит 20% олова, второй, массой 200 г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?

Решение До сплавления в двух кусках было 300*20 / *40/100 = 140 г олова После сплавления кусок массой =500 г будет содержать 140*100/500 (%) = 28(%) олова Ответ. 28%

Задача 7 В 2 л водного раствора, содержащего 60% кислоты, добавили 4 л чистой воды. Определите процентное содержание кислоты в новом растворе.

Решение. По условию задачи объем раствора увеличился в 3 раза, содержание кислоты не изменилось, поэтому процентная концентрация кислоты уменьшилась в 3 раза: 60:3=20(%) Ответ. 20%

Задача 8. Сколько надо взять 5 %-го и 25 %-го раствора кислоты, чтобы получить 4 л 10 %-го раствора кислоты?

Решение. Пусть надо взять х л первого раствора и (4-х) л второго, тогда кислоты будет взято или 0,1*4=0,4, или 0,05 х+0,25*(4-х) л. Составим уравнение: 0,05 х+0,25(4-х)=0,4. Это уравнение имеет единственный корень х=3. Следовательно, надо взять 3 л первого раствора и 4-3=1 л второго. Ответ. 3 л первого и 1 л второго.

Задача 9. Имеется два сплава золота и серебра: в одном массы металлов находятся в отношении 2 : 3, в другом - в отношении 3 : 7. Сколько кг нужно взять от каждого сплава, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5 : 11 ?

Решение. Пусть нужно взять х кг первого и у кг второго сплава. В х кг первого сплава серебра будет (3/5)х кг, а в у кг второго сплава серебра будет (7/10)у кг. Масса нового сплава (х+у) кг, и в нем серебра будет (11/16)(х+у) кг. Составим уравнение: 3 х /5 + 7 у /10 = (11/16) (х+у) --> 6 х + 7 у = 55(х+у) / 8 --> 48 х + 56 у = 55 х + 55 у --> y = 7x. Т.е. первого сплава надо взять одну часть, а второго 7 частей. Ответ. Первого сплава надо взять 1 кг, а второго 7 кг.

Задача 10. Имеется 2 раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100 г первого раствора и 200 г второго раствора, то получится 50%-ный раствор. Если же слить вместе 300 г первого раствора и 200 г второго, то получится 42%-ный раствор. Найти концентрацию второго раствора.

Решение Пусть процентное содержание соли в первом и втором растворах p% и q% соответственно, тогда по условиям задачи можно составить два уравнения: 100· p/ · q/100=50*( )/ p/ q/100=42*( )/100. Упростив эти уравнения и решив систему, получим p=30 и q=60. Следовательно, концентрация второго раствора равна 60%. Ответ. 60%